2 dimensionales Lebesgue Maß einer Menge bestimmen

16.09.2012, 19:24	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
2 dimensionales Lebesgue Maß einer Menge bestimmen Meine Frage: Hallo Ich hab die Menge: $\begin{eqnarray} S^1 = \left\{ (x,y) \in \mathbb R \| x^2+y^2 = 1 \right\} \end{eqnarray}$ Ich möchte das Maß dieser Menge bestimmen! Aber irgendwie hab ich schwierigkeiten! Ich wollte es über das Doppenintegral machen, aber x läuft ja von 1 bis 1 und y auch, da ich keine Ungleichung habe! Ist dann das Maß automatisch Null. Wie würdet ihr das Bestimmen?? Danke für die Tipps! Meine Ideen: Danke!! EDIT: Wenn ich Polarkoordinaten verwende habe ja: $\begin{eqnarray} m(S^1) = \lim_{\epsilon \to 0} \int_0^{2\pi } \! \, \int_{1-\epsilon}^1 \! 1 \, dr d\phi = 0 \end{eqnarray}$ Also ist der Rand eine Nullmenge, der Ganze Einheitskreis hat natürlich Maß $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$
16.09.2012, 23:41	sergej88	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, das 2 dimensionale Maß ist natürlich 0. Um das elementar zu zeigen, könntest du Mengen $\begin{eqnarray} A_n = \{ x \in \mathbb{R}^2 : \ \ 1-\frac{1}{n} < \|x\| < 1 + \frac{1}{n}\} \end{eqnarray}$ betrachten. Es gilt dann $\begin{eqnarray} \bigcap \limits_{n \in \mathbb{N}}A_n = S^1 \end{eqnarray}$ und mit der Stetigkeit von oben folgt $\begin{eqnarray} m(S^1) = \underset{n \to \infty}{\lim}\ m(A_n) \end{eqnarray}$ Diesen Grenzwert kannst du jetzt bereits elementar berechnen. mfg

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