Punktweise Konvergenz

16.09.2012, 20:10

Goofy(Baby)

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Punktweise Konvergenz

Meine Frage:
HAllo leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:
Gegeben sei die Funktionenfolge

$\begin{eqnarray*} fn = \frac{2x}{n}*e^{\frac{x^2}{n} } \end{eqnarray*}$

(a) Untersuche (fn)
n element von N auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz

Meine Ideen:
leider nicht

16.09.2012, 20:13

Goofy(Baby)

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es steht noch in der Aufgabe xElement [ 0 ,1 ]

16.09.2012, 20:16

Birn

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was passiert denn, wenn du die 0 einsetzt? also gegen was konvergiert die Funktionenfolge? Und gegen was konvergiert die Funktionenfolge, wenn du andere Werte aus deinem Intervall einsetzt?

16.09.2012, 20:19

Goofy(Baby)

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für 0 ergibt 0 .

1 eingesetzt ergibt:

2/n *e^1/n

Aber wie gehe ich weiter vor?

16.09.2012, 21:37

Birn

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gegen was konvergiert also deine Reihe auf diesem Intervall? f(x)=??

nun musst du für die glm Konvergenz noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich gegen Null geht für alle X auf deinem Intervall.

16.09.2012, 21:55

Goofy(Baby)

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Für 0 und das andere weiss ich auch nicht.

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16.09.2012, 22:08

Birn

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n geht gegen unendlich! also geht 2/n *e^1/n gegen ???

und egal was du für x aus deinem Wertebereuch einsetzt, f_n geht immer gegen ??? für n gegen unendlich?

16.09.2012, 22:09

Goofy(Baby)

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Dann müsste das auch wieder gegen 0 gehen.

16.09.2012, 22:14

Birn

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genau. Und folglich geht $\begin{eqnarray*} |f_{n}(x)-f(x)| \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich gegen?

16.09.2012, 22:16

Goofy(Baby)

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Müsste auch 0 sein oder?

16.09.2012, 22:17

Birn

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richtig. Und somit hast du auch die glm Konvergenz gezeigt!

Bei diesem Beispiel ist es sogar egal, welchen Wertebereich man hat, denn die Funktionenfolge konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowohl pktweise als auch glm!

16.09.2012, 22:18

Goofy(Baby)

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Damit wäre ch wohl fertig oder?

16.09.2012, 22:23

Birn

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Freude

16.09.2012, 22:29

Che Netzer

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Zitat:

Original von Birn
die Funktionenfolge konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowohl pktweise als auch glm!

Was soll das denn heißen, die Funktion konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ gleichmäßig?
Mit dem Wertebereich meinst du aber sicher den Definitionsbereich.
Aber würdest du dann auch sagen, dass $\begin{eqnarray*} f_n\colon[0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^n \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert?
Oder $\begin{eqnarray*} g_n\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto\tfrac xn \end{eqnarray*}$ ?
Nein, für gleichmäßige Konvergenz muss man noch etwas mehr zeigen.

16.09.2012, 22:29

shipwater

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Zitat:

Original von Birn
Bei diesem Beispiel ist es sogar egal, welchen Wertebereich man hat, denn die Funktionenfolge konvergiert für alle $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sowohl pktweise als auch glm!

Sicher? Und meinst du nicht Definitionsbereich statt Wertebereich?

Gruß Shipwater

Edit: Sorry, Che Netzer war schneller. (Beitrag kann gelöscht werden)

16.09.2012, 23:11

Goofy1

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Hallo Chenetzer wie soll ich dann weiter Vorgehen?

16.09.2012, 23:13

Che Netzer

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Jetzt bin ich also dran smile

smile

Zunächst einmal vermutest du, dass die Folge gleichmäßig konvergiert. Dann musst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\to0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ .
Dieses Supremum solltest du zuerst bestimmen.

16.09.2012, 23:21

Goofy1

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Das supremum von fn geht ja gegen 0 oder ?

16.09.2012, 23:23

Che Netzer

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Wieso?

16.09.2012, 23:28

Goofy1

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n |\frac{2x}{n}e^{\frac{x^2}{n} } | \end{eqnarray*}$

Gegen was geht dann der supremum von das dann?

16.09.2012, 23:31

Che Netzer

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Was wird das denn?
Zunächst einmal ohne Grenzwert:
Was ist
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert\,? \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 23:34

Goofy1

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Was setze ich denn für das f(x) ein?

16.09.2012, 23:42

Che Netzer

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Die errechnete (punktweise) Grenzfunktion.

16.09.2012, 23:43

Goofy1

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Fällt nicht einfach das x weg wenn ich das supremum gegen unendlich gehen lasse?

16.09.2012, 23:45

Che Netzer

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1. Was soll das bedeuten? Dass du $\begin{eqnarray*} \lvert f_n()-f()\rvert \end{eqnarray*}$ erhältst?
2. Wie willst du das Supremum denn gegen Unendlich gehen lassen?

Beantworte mal lieber die aktuelle Frage:
Was ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die errechnete Grenzfunktion (konstant Null) ist und $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ wie in der Fragestellung angegeben?

16.09.2012, 23:48

Goofy1

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Da bleibt nur das fn übrig.

16.09.2012, 23:49

Che Netzer

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Ja, innerhalb des Betrages.
Was ist also
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)\rvert\,? \end{eqnarray*}$

16.09.2012, 23:58

Goofy1

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Ich hatte gedacht 0. Oder einfach die funktion fn?

17.09.2012, 00:00

Che Netzer

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Nein, das ist nicht Null, sonst wäre ja $\begin{eqnarray*} f_n\equiv0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Und welche Funktion soll $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ sein?

Setze doch mal $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ ein; dann kannst du vielleicht besser sehen, wo die Funktion auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ihr Betragsmaximum annimmt.

17.09.2012, 00:02

Goofy1

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Zitat:

Original von Goofy1
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n |\frac{2x}{n}e^{\frac{x^2}{n} } | \end{eqnarray*}$

Gegen was geht dann der supremum von das dann?

Das hatte ich ja hier gemacht.

Sie hat bei 1 ihr maximum oder?

17.09.2012, 00:03

Che Netzer

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Sie hat zwar bei Eins ihr Maximum, aber das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ vor dem Betrag hat da nichts zu suchen. Und wieso betrachtest du dort einen Grenzwert.
Also
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1]}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=f_n(1)=\dotso \end{eqnarray*}$
Dass sie ihr Maximum in Eins hat, wäre vielleicht auch noch zu begründen.

17.09.2012, 00:09

Goofy1

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Dann blibt das stehen 2/n *e^{1/n=

17.09.2012, 00:10

Che Netzer

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Ja. Und konvergiert das nun gegen Null?

Und kannst du auch begründen, weshalb das Supremum in der Eins angenommen wird?

17.09.2012, 00:12

Goofy1

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Es konvergiert gegen null.

Aber wieso das Supremum bei 1 angenommen wird:

Vielleicht weil es der höchste wert ist der gegen 0 geht?

17.09.2012, 00:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Goofy1
Vielleicht weil es der höchste wert ist der gegen 0 geht?

Könntest du der Aussage noch etwas Sinn geben?

Du musst begründen, weshalb $\begin{eqnarray*} f_n(1)\geq f_n(x) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in[0,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

17.09.2012, 14:01

Birn

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aber $\begin{eqnarray*} f_n\colon[0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^n \end{eqnarray*}$ konvergiert meiner Meinung nach gleichmäßig. Wenn ich das $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$ betrachte, dann bekomme ich raus, dass für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ das Supremum, in dem Fall $\begin{eqnarray*} 0,9999...^n \end{eqnarray*}$ , gegen Null konvergiert und somit habe ich die glm Konvergenz gezeigt. Und ist es nicht genauso auch in dem hier angeführten Beispiel? Bzw. was vergesse ich zu zeigen?

17.09.2012, 14:09

Che Netzer

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Das Supremum ist dabei immer Eins. Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ kannst du dich beliebig nahe an die Eins annähern.
Würde man das Intervall auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ erweitern, würde man schon an der Unstetigkeit der Grenzfunktion sehen, dass die Konvergenz nicht gleichmäßig ist. Das Supremum von $\begin{eqnarray*} \lvert f_n(x)-f(x)\rvert \end{eqnarray*}$ ist auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ aber genau dasselbe, da $\begin{eqnarray*} \lvert f_n(1)-f(1)\rvert=\lvert1-1\rvert=0 \end{eqnarray*}$ .

17.09.2012, 14:36

Birn

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auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist es mir klar, dass es nicht glm stetig ist. Allerdings konvergiert doch $\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ für Werte egal wie nah bei 1 und sehr großen n immer gegen 0. Und daher habe ich gedacht, dass man die glm Konvergenz gezeigt hätte, denn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}\lvert f_n(x)\rvert=0 \end{eqnarray*}$ . Irgendwo habe ich wohl einen Denkfehler Hammer

Hammer

17.09.2012, 14:49

Che Netzer

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Zitat:

Original von Birn
$\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}\lvert f_n(x)\rvert=0 \end{eqnarray*}$

Hier ist der Fehler.
Wir betrachten mal $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}\lvert x^n\rvert \end{eqnarray*}$ für festes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Dann können wir ja beliebig nahe an die Eins kommen.
Für $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ (Edit: und $\begin{eqnarray*} \varepsilon<1 \end{eqnarray*}$ ) ist $\begin{eqnarray*} x^n>1-\varepsilon \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} x>\sqrt[n]{1-\varepsilon}\in(0,1) \end{eqnarray*}$ .
Daher ist $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in[0,1)}\lvert f_n(x)-f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und entsprechend
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sup_{x\in[0,1)}\lvert f_n(x)-f(x)\rvert=\lim_{n\to\infty}1=1\neq0\,. \end{eqnarray*}$

17.09.2012, 15:27

Birn

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Freude

Vielen Dank!

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