Satz der majorisierten Konvergenz

16.09.2012, 20:38

Birn

Satz der majorisierten Konvergenz

Meine Frage:
Hallo, ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu lösen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\sqrt{n}} \! \left(1-\frac{x^{2} }{2n} \right)^{n} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun kann ich den Satz der majorisierten Konvergenz anwenden und ich erhalte $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^{\sqrt{n}} \! \left(1-\frac{x^{2} }{2n} \right)^{n} \, dx= \lim_{n \to \infty } \int_0^{\sqrt{n}} \! e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, dx \end{eqnarray*}$
Doch wie gehe ich weiter vor? Kann man das integrieren oder bin ich auf dem falschen Weg? Danke für die Hilfe!

16.09.2012, 23:06

Che Netzer

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RE: majorisierte Konvergen
Hallo,

du kannst die Wurzel in der Integralgrenze nicht so einfach unbeachtet lassen. Die solltest du in den Integranden miteinbeziehen.
Außerdem musst du erst noch zeigen, dass du den Satz von der majorisierten Konvergenz benutzen darfst.

mfg,
Ché Netzer

17.09.2012, 14:28

Birn

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damit ich den Satz anwenden darf, muss ich doch zeigen, dasss $\begin{eqnarray*} |\left(1-\frac{x^{2} }{2n} \right)^{n} \,|\leq g(x) \, \end{eqnarray*}$ . Allerdings fällt mir nur ein, dass $\begin{eqnarray*} |\left(1-\frac{x^{2} }{2n} \right)^{n} \,|=e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, \end{eqnarray*}$ . Nun ist $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, \end{eqnarray*}$ nicht integrierbar. Aber wenn ich dass noch abschätzen kann, dann hätte ich die Vorraussetzung doch gezeigt. Allerdings komme ich auf keine Abschätzung!

Was meinst du genau, dass ich die Integralgrenzen in den Integranden miteinbeziehen soll? Ich kann doch meine Integranden noch nicht mit einbeziehen ohne integriert zu haben. Oder etwa doch?

17.09.2012, 14:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von Birn
$\begin{eqnarray*} |\left(1-\frac{x^{2} }{2n} \right)^{n} \,|=e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, \end{eqnarray*}$ .

Stimmt nicht, da gilt nur $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ . (Dürft ihr das benutzen?)

Zitat:

Nun ist $\begin{eqnarray*} e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, \end{eqnarray*}$ nicht integrierbar.

Klar ist das integrierbar.

Zitat:

Was meinst du genau, dass ich die Integralgrenzen in den Integranden miteinbeziehen soll? Ich kann doch meine Integranden noch nicht mit einbeziehen ohne integriert zu haben. Oder etwa doch?

Du brauchst ein festes Integrationsgebiet, deswegen das Einbeziehen. Benutze dazu die Indikatorfunktion.

17.09.2012, 15:25

Birn

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stimmt

die Funktion ist integrierbar, da sie auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist und stetige Funktionen sind messbar. Somit habe ich zumindest mal die Vorraussetzung für den Satz der majorisierten Konvergenz gezeigt.

Leider kann ich mit der Indikatorfunktion nichts anfangen. Habe es mir zwar in Wikipedia angeschaut, aber ich weiß leider nicht, wie ich die hier verwenden soll. Hast du mir vll noch einen kleinen Tipp? Geht es auch ohne die Indikatorfunktion? Danke!

17.09.2012, 15:27

Che Netzer

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Zitat:

Original von Birn
stimmt Hammer

die Funktion ist integrierbar, da sie auf ganz \mathbb R stetig ist und stetige Funktionen sind messbar. Somit habe ich zumindest mal die Vorraussetzung für den Satz der majorisierten Konvergenz gezeigt.

Nein, aus Messbarkeit folgt noch nicht Integrierbarkeit. Sonst wären ja auch konstante Funktionen (ungleich Null) integrierbar.

Zitat:

Leider kann ich mit der Indikatorfunktion nichts anfangen. Habe es mir zwar in Wikipedia angeschaut, aber ich weiß leider nicht, wie ich die hier verwenden soll. Hast du mir vll noch einen kleinen Tipp? Geht es auch ohne die Indikatorfunktion? Danke!

Ohne die Indikatorfunktion würde mir nicht viel einfallen.
Kennst du die denn überhaupt?
Bzw. kannst du $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty\chi_{[0,1]}(x)\dx \end{eqnarray*}$ umschreiben?

17.09.2012, 15:53

Birn

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die funktion ist erst integrierbar wenn $\begin{eqnarray*} \int \! | f(x)| \, d\mu< \infty \end{eqnarray*}$ . Da wir einen Integrationsbereich vorgegeben haben folgt die Integrierbarkeit. Liege ich damit richtig?

Das $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty\chi_{[0,1]}(x)\dx \end{eqnarray*}$ kann ich leider nicht umschreiben bzw. habe es noch nie gesehen. Dann kann ich die Aufgabe wohl noch nicht lösen mit dem Werkzeug, was ich bis jetzt zur Hand habe. Ich bereite mich eben gerade auf eine Ana2 Klausur vor und dachte ich könnte die Aufgabe lösen. Ist wohl aber doch nicht so. Trotzdem vielen Dank!

17.09.2012, 15:56

Che Netzer

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Zitat:

Original von Birn
Da wir einen Integrationsbereich vorgegeben haben folgt die Integrierbarkeit. Liege ich damit richtig?

Die Begründung verstehe ich nicht ganz...
Aber es dürfte ausreichen zu sagen, dass diese Funktion integrierbar (auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ist.

Wenn du die Indikatorfunktion nicht kennst, dann betrachte statt $\begin{eqnarray*} \sqrt n \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ als obere Grenze. (das kommt in diesem Fall auf dasselbe hinaus)

17.09.2012, 16:19

Birn

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d.h. ich müsste $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} \! e^{-\frac{x^{2} }{2} } \, dx \end{eqnarray*}$ berechnen. Allerdings ist das mein Problem, dass ich es nicht hinbekomme, das Integral auszurechnen!

17.09.2012, 16:27

Che Netzer

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Dafür gibt es Die Regel
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty\mathrm e^{-ax^2}\dx=\sqrt{\frac\pi a}\,. \end{eqnarray*}$

17.09.2012, 16:30

Birn

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mal wieder vielen Dank. Jetzt ist alles klar.

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