Erklärung zum Binomialkoeffizienten

16.09.2012, 22:55	mwinter	Auf diesen Beitrag antworten »
Erklärung zum Binomialkoeffizienten Hallo zusammen, in der Oberstufe haben wir leider nichts aus dem Bereich der Stochastik behandelt, also bitte ich euch vorab, über meine Unwissenheit hinwegzuschauen ;-) Ich möchte mir bis zum Beginn meines Studiums nächsten Monat schonmal ein paar Grundlagen selbst aneignen. Gerade setze ich mich mit dem Binomialkoeffizienten auseinander. Ich versteh auch, wann man ihn anwendet, jedoch schaff ich es nicht, mir die Formel anhand von Beispielen zu erklären. Ich komme einfach nicht darauf, wozu das k! im Nenner dient. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \end{eqnarray}$ U.a. bei folgendem Beispiel: "Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Skatspiel (32 Karten) ein Blatt aus 10 Karten zu bekommen?" Meine Herleitung läuft nach dem Prinzip: zuerst habe ich 32 Möglichkeiten, danach 31 Möglichkeiten... und nachdem ich neun Karten gezogen habe schließlich nur noch 23 Möglichkeiten. Also: $\begin{eqnarray} 32 \cdot 31 \cdot 30 \cdot ... \cdot 23 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten Und das entspricht: $\begin{eqnarray} \frac{32!}{22!} = \frac{32!}{(32-10)!} = \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray}$ Ich scheine dabei aber irgendeine Dimension des Problems zu übersehen, schließlich wäre die korrekte Lösung laut Formel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 32 \\ 10 \end{pmatrix} = \frac{32!}{10!\cdot (32-10)!} \end{eqnarray}$ . Wäre super, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte! Liebe Grüße, mwinter :-)
16.09.2012, 23:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
deine Rechnung berücksichtigt die Reihenfolge der Karten, das nennt man Variationen. Beim Skat ist die Reihenfolge ohne Belang. Deshalb muss noch mit den 10 Fakultät Permutationen dividiert werden um letztendlich die Kombinationen zu erhalten
16.09.2012, 23:18	mwinter	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, Dopap! Das hilft mir schonmal weiter. Ich verstehe jetzt den Unterschied zwischen Variationen und Kombinationen. Mir ist jetzt klar, dass es logischerweise mehr Variationen als Kombinationen gibt. Aber hast du eine Idee, wie ich mir veranschaulichen kann, dass es ausgerechnet 10! Permutationen gibt? Komme da noch nicht ganz hinter! lg, mwinter :-)
17.09.2012, 00:10	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
für 2 Karten gibt es 2 Permutationen 3 Karten gibt es 23=6 Permutationen 4 Karten gibt es 64=24 Permutationen ............................... und beim Skat: 10 Karten gibt es 2345 ....10 = 10! Permutationen

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