Welche Substitution für Integral?

17.09.2012, 00:20

Kanzlerin

Welche Substitution für Integral?

Meine Frage:
Die Aufgabe lautet:

Berechnen Sie folgendes bestimmtest Integral:

$\begin{eqnarray*} \int_1^8 \! e^\frac{1}{x} * x^{-2} \, dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe es zunächst mit der Substitution von $\begin{eqnarray*} z = e^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ versucht. Das bringt mich zu:

$\begin{eqnarray*} \int_1^8 \! -1 \frac{z x^{-2}}{e^\frac{1}{x}x^{-2}} \, dz = \int_1^8 \! -1 \frac{z}{e^\frac{1}{x}} \, dz \end{eqnarray*}$

An der Stelle komme ich aber nicht weiter, da ich immer noch die Variable x im Integral habe. unglücklich

Welche Substitution wäre also besser?

17.09.2012, 00:24

Helferlein

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Fällt Dir zwischen $\begin{eqnarray*} x^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{-2} \end{eqnarray*}$ kein Zusammenhang auf, speziell im Hinblick auf die Substitution?

17.09.2012, 00:24

Che Netzer

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RE: Welche Substitution für Integral?
Oho, die Kanzlerin ist im Forum Augenzwinkern

Naja, substituiere lieber $\begin{eqnarray*} z=\tfrac1x \end{eqnarray*}$ .
Oder aber erweitere geschickt, so dass du ein Integral der Form
$\begin{eqnarray*} \int_1^8c\mathrm e^{f(x)}f'(x)\dx \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} c\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ erhältst. Ich empfehle letzteres, das befreit vom Substitutionszwang und ist hilfreich, wenn man dadurch ähnliche Integrale schneller berechnen kann.

mfg,
Ché Netzer

17.09.2012, 20:10

Kanzlerin

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Okay, den Wink mit dem Zaunpfahl habe ich verstanden. Ich habe also mein Integral folgendermaßen umgeformt:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \int_1^8 e^\frac{1}{x} \cdot -1 \cdot x^{-2} \, dx \end{eqnarray*}$

Das entspricht nun der genannten Form. Ich verstehe aber noch nicht genau, warum es dadurch einfacher wird? Ich habe mal umgestellt und versuche die partielle Integration anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \int_1^8 -1 \cdot x^{-2} \cdot e^\frac{1}{x} \, dx = -1 \cdot \left[x^{-2} \cdot e^\frac{1}{x}\right]_{1}^{8} - \int_1^8 x^{-2} \cdot -1 \cdot e^\frac{1}{x} \cdot x^{-2} \, dx \end{eqnarray*}$

Das kann man dann nochmal umformen zu:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \left[x^{-2} \cdot e^\frac{1}{x}\right]_{1}^{8} + \int_1^8 e^\frac{1}{x} \cdot x^{-4} \, dx \end{eqnarray*}$

Ich sehe aber irgendwie, dass es nicht einfacher wird ... traurig

17.09.2012, 21:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Kanzlerin
$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \int_1^8 e^\frac{1}{x} \cdot -1 \cdot x^{-2} \, dx \end{eqnarray*}$

Das entspricht nun der genannten Form. Ich verstehe aber noch nicht genau, warum es dadurch einfacher wird?

Die Kettenregel sagt dir hoffentlich etwas.

Die partielle Integration hat noch einen Fehler (einen der Faktoren musst du integrieren), außerdem brauchst du die nicht.

17.09.2012, 21:36

Kanzlerin

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Natürlich sagt mir die Kettenregel etwas. Aber ich will doch hier nicht ableiten, sondern integrieren. Und soweit ich das bisher verstanden habe ist die Umkehrung der Kettenregeln vom Ableiten die Substitution beim integrieren (bestimmen der Stammfunktion). Ich bin verwirrt ...

Okay, korrigiert sollte die partielle Integration sein:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \left[-x^{-1} \cdot e^\frac{1}{x}\right]_{1}^{8} + \int_1^8 \cdot e^\frac{1}{x} \cdot x^{-4} \, dx \end{eqnarray*}$

Auch wenn ich sie nicht brauche, damit es hier wenigstens richtig steht.

17.09.2012, 21:39

Che Netzer

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Die Substitution kann man hier zwar auch anwenden (deine aus dem Ursprungspost funktioniert sogar auch; im Nenner steht dann ja $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , aber die Grenzen sind falsch), aber es geht auch ohne.
Und zwar dürfte ja bekannt sein, dass die Integration die "Umkehrung" der Differentiation ist.
Du brauchst also nur eine Funktion zu finden, deren Ableitung $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{f(x)}f'(x) \end{eqnarray*}$ ist.

17.09.2012, 22:01

Kanzlerin

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Okay, so langsam hat es glaube ich klick gemacht. Die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ hatte ich ja schon für die Substitution oben bestimmt.

$\begin{eqnarray*} (e^\frac{1}{x})' = -1 \cdot e^\frac{1}{x} \cdot x^{-2} \end{eqnarray*}$

Das entspricht nun, oh Wunder, dem was im Integral zu integrieren ist. Also sollte gelten:

$\begin{eqnarray*} -1 \cdot \int_1^8 e^\frac{1}{x} \cdot x^{-2} \, dx = -1 \cdot \left[e^\frac{1}{x}\right]_{1}^{8} \end{eqnarray*}$

Damit komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} = e^\frac{1}{8} + e^1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das denn?

17.09.2012, 22:02

Che Netzer

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Links fehlt nur noch ein Minus, sonst passt es.

17.09.2012, 22:07

Kanzlerin

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Habe ich mal dazueditiert.

Super! Vielen dank! smile

17.09.2012, 22:10

Che Netzer

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Nein, hast du nicht verwirrt

Zumindest nicht das Minus im Ergebnis, das ich meinte. Dafür hast du ein Minus in das zu berechnende Integral geschmuggelt, das anfangs noch nicht da war.

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