Hopital und Ableitung

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03.02.2007, 13:12	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
Hopital und Ableitung Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray} x - \sqrt[3]{x^3-x^2+1} \end{eqnarray}$ gegen 1/3 strebt. Dazu möchte ich die die Regel von Hopital verwenden. Doch hab ich Mühe beim Ableiten. Wie differenziere ich $\begin{eqnarray} \frac{1-\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}}}{x^{-1}} \end{eqnarray}$ , ich muss ja Zähler und Nenner separat ableiten, da ich Hopital verwenden will. Beim Zähler komm ich nicht weiter. Danke für die Hilfe Harald
03.02.2007, 13:27	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hopital und Ableitung dich interessiert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} x - \sqrt[3]{x^3-x^2+1} =\lim_{x \to \infty} \frac{1-\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}}}{\frac{1}{x}} = \frac{0}{0} = ? \end{eqnarray}$ Nun schauen wir uns die Ableitungen an: $\begin{eqnarray} (1-\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}})' = 0 - (\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}})' \end{eqnarray}$ Das machst Du mit der Kettenregel. Dabei gilt: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}} \Rightarrow (x^{\frac{1}{3}})' = \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \end{eqnarray}$
03.02.2007, 14:34	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hopital und Ableitung Hmm, also im Nenner kriege ich ja $\begin{eqnarray} -\frac{1}{x^2} \end{eqnarray}$ als Ableitung Im Zähler komme ich nicht weiter, denn ich müsste ja anscheinend den Ausdruck $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}} \end{eqnarray}$ quadrieren und daraus die dritte Wurzel ziehen. Das gibt aber doch einen Riesensalat. Und wie wende ich dann die Regel von Hopital an, wenn der Nenner immer noch gegen 0 strebt?
03.02.2007, 14:40	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hopital und Ableitung Ich kann nichts für die Ableitungsregeln $\begin{eqnarray} (\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}})' =\frac{1}{3\sqrt[3]{u(x)^2}} \cdot u'(x), ~u(x) =1-x^{-1}+x^{-3} \end{eqnarray}$
03.02.2007, 14:54	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok super, dann wäre das mit der Kettenregel mal klar. Aber wie forme ich nun die dritte Wurzel aus dem Quadrat der dritten Wurzel so um, dass ich über den Grenzwert was aussagen kann?
03.02.2007, 15:10	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder Du multipliziert aus, oder erkennst: aus a -> 1 folgt a² -> 1
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05.02.2007, 15:56	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich seh da leider immer noch kein Weiterkommen. Wenn ich den Ausdruck unter der Wurzel ausmultipliziere, bekomme ich: $\begin{eqnarray} 1 - 2x^{-1} +x^{-2}+2x^{-3}-2x^{-4}+x^{-6} \end{eqnarray}$ doch wie soll ich da jetzt die dritte Wurzel raus ziehen?
05.02.2007, 16:02	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
gar nicht. Es interessieren hier doch Grenzwerte. Und wogenen gehehn x mit neg Potenz für x gegen unendlich?
05.02.2007, 16:34	Harald Kurse	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm aber im Zähler hab ich ja auch noch ein x^2, da kann ich doch nicht einfach sagen, nur noch die 1 unter der Wurzel zählt? mal zusammengefasst geh ich ja von folgendem aus, oder? $\begin{eqnarray} \frac{f'(x)}{g'(x)} = - \frac{x^2}{3\cdot\sqrt[3]{(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3})^2}} \end{eqnarray}$
05.02.2007, 17:12	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} x - \sqrt[3]{x^3-x^2+1} =\lim_{x \to \infty} \frac{1-\sqrt[3]{1-x^{-1}+x^{-3}}}{\frac{1}{x}} =\lim_{x \to \infty} \frac{0-\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x^{-1}+x^{-3})^2}}\cdot(0+\frac{1}{x^2}-\frac{3}{x^4})}{-\frac{1}{x^2}} \end{eqnarray}$ So würde der Ansatzmit L'Hospital aussehen. Warum willst du den eigentlich anwenden?

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