Extremwertaufgaben

03.02.2007, 14:49

Hansküsters

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Extremwertaufgaben

Hallo hätte da mal wieder ne Frage!

Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechteckes zu wählen, damit die Querschnittfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?

Mein Ansatz.

Flächeninhalt Rechteck $\begin{eqnarray*} A=a*b=8m² \end{eqnarray*}$ Umfang Rechteck $\begin{eqnarray*} U=2a+2b \end{eqnarray*}$ >> $\begin{eqnarray*} a= \frac{U}{2}-b \end{eqnarray*}$

Ich setze ein. $\begin{eqnarray*} 8m²=a= (\frac{U}{2}-b)*b=-b^2+b*\frac{U}{2} \end{eqnarray*}$ >>> $\begin{eqnarray*} A(b)=-b^2+b*\frac{U}{2}-8 \end{eqnarray*}$

Nun leite ich ab.

$\begin{eqnarray*} A'(b)=-2b+\frac{U}{2} \end{eqnarray*}$

Ich glaube ich hab jetzt schon einiges falsch gemacht. Wenn nciht dann müsste man mir sagen wie ich weiterrechnen soll, denn ich hab 2 unbekannte.

Danke

03.02.2007, 15:16

Hansküsters

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RE: Extremwertaufgaben
Kann mir denn keiner helfen?

03.02.2007, 15:18

tigerbine

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RE: Extremwertaufgaben
Wie wäre es mit etwas Geduld? du bist nicht der Einzige der Fragen hat? Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.02.2007, 15:20

Hansküsters

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RE: Extremwertaufgaben
Sorry du hast natürlich Recht Hammer

Hammer

Aber ich bin wirklich in Eile.

Naja dann muss ich mich eben gedulden

03.02.2007, 15:27

babelfish

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RE: Extremwertaufgaben

Zitat:

Original von Hansküsters
Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechteckes zu wählen, damit die Querschnittfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird?

wo ist der halbkreis in deinen rechnungen?

03.02.2007, 15:31

Hansküsters

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RE: Extremwertaufgaben
Ja das verwirrt mich, denn in der Fragestellung ist nur gefragt wie breite und höhe des Rechteckes zu wählen sind.

Demnach müsste der Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A=a*b+\frac{\pi*a^2 }{2} \end{eqnarray*}$ und der Umfang $\begin{eqnarray*} U=a+2b+\frac{\pi*a }{2} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich nun weiter fortfahren?

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03.02.2007, 15:58

Hansküsters

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RE: Extremwertaufgaben
Oh hab mich vertan ich meine $\begin{eqnarray*} A=a*b+\frac{(\frac{a}{2})^2* \pi }{2} =8 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U=a+2b+\frac{a*\pi }{2} \end{eqnarray*}$

Nur trotzdem weiß ich jetzt nicht wie ich weiter fortfahren muss. traurig

traurig

Wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte

03.02.2007, 16:05

ich bin smile

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Du meinst beim Umfang wohl $\begin{eqnarray*} a+2b+a*\pi \end{eqnarray*}$ ?

Bei dem Flächeninhalt hast du ja eine konkrete Vorgabe, 8m².

Jetzt lös den Flächeninhalt nach einer Variable auf und setzt das dann in den Umfang ein.

Zuletzt den Umfang ableiten, gleich Null setzten und auflösen.

Die andere Variable berechnen und fertig!

Aber alles schrittweise natürlich.

03.02.2007, 16:17

Hansküsters

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Beim Umfang muss es doch aber heißen $\begin{eqnarray*} U=a+2b+\frac{\pi*a}{2} \end{eqnarray*}$ denn a ist der Durchmesser und die Umfangsformel bei einem Kreis ist ja $\begin{eqnarray*} \pi*d \end{eqnarray*}$ und da es sich um einen halbkreis handelt muss es doch durch $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ geteilt werden oder?

Nun zum nächsten!

Du sagst ich soll die Flächeninhaltsformel nach einer Variablen auflösen.

Ich hab $\begin{eqnarray*} A=a*b+ \frac{\frac{a^2}{4}*\pi}{2}=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab+ \frac{a^2*\pi}{4}=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 8ab+a^2\pi-64=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2+\frac{8b}{\pi}a- \frac{64}{\pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1,2}=-\frac{4b}{\pi}\pm \sqrt{(\frac{4b}{\pi})^2+\frac{64}{\pi} } \end{eqnarray*}$

Ist das bishierhin richtig?

03.02.2007, 16:25

ich bin smile

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Zitat:

Beim Umfang muss es doch aber heißen denn a ist der Durchmesser und die Umfangsformel bei einem Kreis ist ja und da es sich um einen halbkreis handelt muss es doch durch geteilt werden oder?

Hast Recht! Hammer

Hammer

Hab mich bei diesen Halbkreisen verwirren lassen.

Zitat:

Ist das bishierhin richtig?

Ja, aber lös' doch dann bitte nach b auf, sonst musst du dich bei der Ableitung mit Wurzeln rumschlagen.

03.02.2007, 16:27

Hansküsters

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Wie löse ich dass denn nach b um?
Ich wüsste nicht wie ich hier noch vereinfachen kann.

Danke

03.02.2007, 16:31

ich bin smile

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Nein, bei der Anfangssituation A=...

Weil wenn du jetzt so weiter arbeiten würdest, müsstest du dich mit schwer abzuleitenden Wurzeln herumschlagen.

03.02.2007, 16:34

Hansküsters

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Natürlich! Warum sehe ich sowas auch nicht früher Hammer

Hammer

Also $\begin{eqnarray*} b=8-\frac{a\pi}{8} \end{eqnarray*}$ oder?

03.02.2007, 16:41

ich bin smile

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Fast!

b=8/a-(a*Pi)/8

03.02.2007, 16:44

Hansküsters

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Ja stimmt!

Wenn ich das dann in die Umfangsformel einsetze bekomme ich $\begin{eqnarray*} U=17a+\frac{a*\pi}{2} \end{eqnarray*}$ Stimmt das?

Muss ich das nun ableiten?

03.02.2007, 16:54

ich bin smile

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Eher weniger! geschockt

geschockt

U=16/a+a+(a*Pi)/4

Und jetzt ableiten, wobei du nur die Potenzgesetze brauchst.

16/a=16*a^(-1)

03.02.2007, 16:59

Hansküsters

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Ich hab für a raus a=3,58 stimmt das?

03.02.2007, 17:00

Hansküsters

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Ich meine a=6,34

03.02.2007, 17:05

ich bin smile

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Also ich hab bei mir a=0.22

03.02.2007, 17:17

Hansküsters

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Also ich hab jetzt für a=3 und für b=1,49.

Ist die Aufgabe danmit gelöst?

03.02.2007, 17:22

ich bin smile

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Zitat:

Ist die Aufgabe danmit gelöst?

Setzt es doch mal in deine Flächengleichung und wenn es wie nötig 8 ergibt, sollte es richtig sein.

03.02.2007, 17:23

Hansküsters

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Ja da kommt 8 raus!
Also ist die Aufgabe doch damit beendet oder ist da noch was anderes verlangt?

03.02.2007, 17:35

ich bin smile

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Wenn nichts etwas widersprüchliches ergibt, dann ist die Aufgabe jetzt gelöst.

03.02.2007, 17:36

Hansküsters

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Ich danke dir vielmals!

Du hast mir echt geholfen Wink

Wink

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