Integral

17.09.2012, 14:09

hi21

Integral

Meine Frage:
HAllo leute ich habe bei der folgenden AUfgabe probleme

Berechnen sie das Integral

für |x^2| + |y^2| <= 1

$\begin{eqnarray*} \int_G \! |x|+|y| \, dx \end{eqnarray*}$

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^2pi\int_0^1 \! r^2\, drdphidz<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Ich wollte euch fragen ob mein ansatz richtig ist.

Die funktion ist ja ein kreis.

Meine Ideen:
gepostet

Edit Equester: Latexcode korrigiert.

17.09.2012, 18:49

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde erst einmal die vollständige Aufgabenstellung interessieren.
Sollt ihr $\begin{eqnarray*} \int_G\bigl(\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\bigr)\mathrm d\lambda \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} G=\{(x,y)\in\mathbb R^2:x^2+y^2\leq1\} \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Und was soll das heißen, "Die funktion ist ja ein kreis"?

17.09.2012, 19:45

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so stimmt's. Chenetzer

17.09.2012, 20:15

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann kannst du Kreiskoordinaten verwenden, dann entsteht aber nur ein Doppelintegral.
Übrigens kannst du das Integral dann auch auf den ersten Quadranten einschränken ( $\begin{eqnarray*} 0\leq\varphi\leq\tfrac\pi2 \end{eqnarray*}$ ) und am Ende vervierfachen.

Versuche die Transformation nochmal, beachte aber, dass du Kreiskoordinaten verwendest und keine Zylinder- oder Kugelkoordinaten.

17.09.2012, 20:26

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist meine paraetrisierung falsch gewesen?

17.09.2012, 21:01

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie lautet deine Parametrisierung denn?

In dem Dreifachintegral ist auf jeden Fall eine Variable zu viel.

17.09.2012, 21:06

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Einmal von 0 bis 1, dann von 0 bis 2 Pi und dann wieder 0 bis 1. Richtig?

17.09.2012, 21:08

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

WAS geht von 0 bis 1 etc.?
Ich sagte doch (inzwischen zum dritten mal): Du brauchst zur Parametrisierung einer Fläche nur zwei Variablen, nicht drei.

17.09.2012, 21:11

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte man kann hier mit zylinderkoordinaten arbeiten?

17.09.2012, 21:17

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, Zylinderkoordinaten parametrisiert man Zylinder.
Hier haben wir einen Kreis, wenn meine Interpretation von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ stimmt.
Und zur Parametrisierung von Kreisen verwendet man Kreiskoordinaten.
Das hatte ich oben auch schon erwähnt.

17.09.2012, 21:19

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Sind kreiskoordinaten nicht dr dpi und dz?

17.09.2012, 21:27

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Diese drei Dinger sind Differentiale.
Eine Parametrisierung wäre
$\begin{eqnarray*} (r,\varphi)\mapsto r\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix}\,, \end{eqnarray*}$
wobei noch zu bestimmen ist, woher $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ jeweils aus $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ stammen.

17.09.2012, 21:44

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommt 2pi/3 raus?

17.09.2012, 21:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir nicht.
Wie hast du denn gerechnet?

17.09.2012, 21:53

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Integral r*sinphi + r*cosphi dr dphi = r^2 dr dphi = 1/3 r^3 = 1/3 *phi = 2pi/3.

17.09.2012, 21:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Soll das eine Gleichungskette sein?
Ich lese das so:
$\begin{eqnarray*} \int r\sin\varphi+r\cos\varphi\mathrm dr\mathrm d\varphi=r^2\mathrm dr\mathrm d\varphi=\tfrac13r^3=\tfrac13\varphi=\tfrac{2\pi}3\,. \end{eqnarray*}$
Und besonders viel Sinn ergibt das nicht.
Es fehlen links schon die Grenzen und die Determinante $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Parametrisierung.

17.09.2012, 22:01

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid hatte es vergessen was habe ich eigentlich falsch gemacht?

17.09.2012, 22:04

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt weiß ich gar nicht, was du überhaupt gemacht hast.

Hier mal die folgenden Schritte:
1. Welche Grenzen setzt du ein? (parametrisierst du den ganzen Kreis oder nur einen Viertelkreis?)
2. Wie sieht der Integrand aus?
3. Schreibe das Integral dann zunächst einmal auf.
4. Integriere nach der ersten Variable.
5. Integriere nach der zweiten Variable.

17.09.2012, 22:07

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sieht es denn dann richtig aus ?

17.09.2012, 22:11

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Che Netzer
1. Welche Grenzen setzt du ein? (parametrisierst du den ganzen Kreis oder nur einen Viertelkreis?)

Fang doch mal mit dieser Frage an.
Zur Parametrisierung des ganzes Kreises kannst du die von mir angegebenen Grenzen verwenden. Wenn du nur einen Viertelkreis betrachtest, musst du sie verändern.

17.09.2012, 22:14

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_0^2pi \int_0^1 \! r*(sinphi+cosphi) \, drdphi= \int_0^2pi \int_0^1 \! r*r \, drdphi = \int_0^2pi 1/3 dphi = 1/3 *phi = 1/3 *2pi \end{eqnarray*}$

So alles aufgeschrieben.

17.09.2012, 22:22

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab doch den kreis jetzt parametrisiert oder?

17.09.2012, 22:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von hi21
$\begin{eqnarray*} \int_0^2pi \int_0^1 \! r*(sinphi+cosphi) \, drdphi= \int_0^2pi \int_0^1 \! r*r \, drdphi = \int_0^2pi 1/3 dphi = 1/3 *phi = 1/3 *2pi \end{eqnarray*}$

So alles aufgeschrieben.

Ganz links fehlt ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ aus der Determinante.
Wieso hast du im zweiten Integral die Summe durch $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ ersetzt?
Und der Rest ergibt kaum noch Sinn.
Du kannst übrigens per ^{2\pi} die obere Grenze schöner schreiben. Ähnlich \varphi für phi. (und \sin und \cos gibt es auch)
Und außerdem fehlen die Beträge.

17.09.2012, 22:35

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

ABer das ändert doch nichts am ergebnis oder?

17.09.2012, 22:50

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn da überhaupt rauskommen?

17.09.2012, 22:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

WAS ändert nichts am Ergebnis? Dass der Integrand falsch ist? Das ändert sehr wohl etwas am Ergebnis...
Und die Beträge natürlich auch.

17.09.2012, 22:52

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was habe ich falsch gemacht?

17.09.2012, 23:01

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast a) ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und b) die Beträge vergessen.
Der Integrand ist ja $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert+\lvert y\rvert \end{eqnarray*}$ , oder?
Diese beiden Variablen sind durch die Parametrisierung gegeben; außerdem multiplizierst du noch mit der entsprechenden Determinante $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

17.09.2012, 23:03

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich denn r^3 integrieren oder wie ?

17.09.2012, 23:05

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn jetzt auf $\begin{eqnarray*} r^3 \end{eqnarray*}$ ?

17.09.2012, 23:07

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nicht . Normalerweise habe ich ja zuerst einmal r^2 integriert , aber das ist ja anscheinend falsch oder ?

17.09.2012, 23:09

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Was heißt denn jetzt "normalerweise"?
Also:
Wir haben den Integranden $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert+\lvert y\rvert \end{eqnarray*}$ , die Gleichung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=r\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und die Determinante $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ . Außerdem $\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq\varphi\leq2\pi \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht jetzt unser Integral aus?

17.09.2012, 23:12

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte ja meine Rechnung ja gepostet aber Ich Merk nicht so richtig was ich falsch gemacht habe . Daher Wein ich auch nicht wie es richtig gehen soll?

17.09.2012, 23:14

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Beantworte doch erst einmal die Frage, ohne gleich weiterzurechnen. Ersetze $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im Integranden mithilfe der angegebenen Gleichung. Multipliziere dann mit der Determinante. Tue sonst erst einmal nichts.

17.09.2012, 23:17

hi21

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ergibt r^2*sinphi +r^2*cosphi wie geht's weiter?

17.09.2012, 23:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast wieder die Beträge vergessen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^1\int_0^{2\pi}\Bigl(r^2\lvert \sin\varphi\rvert+r^2\lvert\cos\varphi\rvert\Bigr)\mathrm d\varphi\mathrm dr\,. \end{eqnarray*}$
Jetzt kannst du das ganze auf einen Viertelkreis einschränken und dadurch die Beträge weglassen. Das ist ähnlich wie
$\begin{eqnarray*} \int_{-a}^a\lvert x\rvert\mathrm dx=2\int_0^ax\dx\,. \end{eqnarray*}$
Überlege dir, wie du die Parametrisierung auf einen Viertelkreis einschränkst. (hatte ich weiter oben übrigens schon verraten)

Neue Frage »

Antworten »

Integral

Verwandte Themen