Hesse-Matrix

17.09.2012, 15:24

ichebem

Hesse-Matrix

Hallo, ich muss mit Hilfe der Hesse-Matrix eine Funktion auf kritische Punkte untersuchen, und dann auch angeben, was für eine Art vorliegt (Minima, Maxima, Sattelpunkt).

Mein Problem ist nun, dass ich irgendwie komplett auf dem Schlauch stehe, da es mir nicht gelingt, die erste Ableitung=0 zu setzen, um eben kritische Punkte zu finden.

Es geht um folgendes:

$\begin{eqnarray*} f(x) : \mathbb R ² -> \mathbb R ; (x,y) -> \sin(x-y) +x² +y² \end{eqnarray*}$

Ich komme auf folgenden Gradienten:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(x-y)+2x \\ cos(x-y)+2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und es ergibt sich letztendlich folgende Hesse-Matrix, wenn ich x,y =0 setze

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

was, ja bedeuten würde, dass ein Sattelpunkt vorliegt.

------------
obiges war meine Lösung, bis mir einfiel, dass ic ja gar nicht die kritischen Punkte über die erste Ableitung= 0 bestimmt habe.

Was habe ich jetzt vergessen oder falsch gemacht? verwirrt

17.09.2012, 15:28

Mystic

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RE: Hesse-Matrix
Zunächst einmal hast du die partiellen Ableitung $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ falsch berechnet... Auch aus dem weiteren werde ich nicht schlau: Was ist eigentlich der stationäre Punkt, den du hier untersuchst? verwirrt

17.09.2012, 15:36

ichebem

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was hab ich denn bei den partiellen Ableitungen falsch gemacht?

17.09.2012, 15:39

Mystic

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Du hast bei der partiellen Ableitung nach y die Kettenregel falsch angewandt...

17.09.2012, 15:47

ichebem

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Zitat:

oh, entschuldigung, ich meine natürlich

d/dy ---> cos(x-y) - 2y

Wenn ich nun einen kritischen Punkt suche, müssen beide erste Ableitungen 0= sein. Wenn ich das mache, erhalte ich folgendes

cos(x-y) +2x =0
cos(x-y) -2y =0

cos(x-y)+2x =cos (x-y) -2y

x = -y

Damit folgt dann:

cos (2x) +2x = 0

Und da finde ich keine Lösung :/

cos(x-y) + xx -yy
abgeleitet nach dy

Ist bei mir -cos(x-y) - 2y

und damit klappts dann auch.

17.09.2012, 16:02

Mystic

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Zitat:

Original von ichebem
oh, entschuldigung, ich meine natürlich

d/dy ---> cos(x-y) - 2y

Wenn du damit $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ meinen solltest, warum schreibst du das nicht auch so? Und leider ist das noch immer falsch, sogar noch mehr als vorher...

Edit: Auch nach deinem Editieren ist das richtig, sofern die Funktion in der Angabe stimmt...

Zitat:

Original von ichebem
Wenn ich nun einen kritischen Punkt suche, müssen beide erste Ableitungen 0= sein. Wenn ich das mache, erhalte ich folgendes

cos(x-y) +2x =0
cos(x-y) -2y =0

Ja, beide partiellen Ableitungen müssen für sich genommen 0 sein... Zufälligerweise wirkt sich dein Fehler beim Ableiten nach y hier nicht auf Gleichungssystem aus und es geht danach richtig weiter...

Zitat:

Original von ichebem
Damit folgt dann:

cos (2x) +2x = 0

Und da finde ich keine Lösung :/

Ich denke, da wirst du dich auch mit einer Näherungslösung (Newtonverfahren?) begnügen müssen...

17.09.2012, 17:56

ichebem_

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$\begin{eqnarray*} f(x) : \mathbb R ² -> \mathbb R ; (x,y) -> \sin(x-y) +x² +y² \end{eqnarray*}$

Der Gradient sind dann wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(x-y)+2x \\ -cos(x-y)-2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Sucht man den kritischen Punkt (beide Ableitungen gleich 0 setzen) ergibt sich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos(x-y)+2x=0 \\ -cos(x-y)-2y=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos(x-y)=-2x \\ cos(x-y)=-2y \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

es folgt dann unmittelbar: x=y
wenn man das einsetzt erhält man:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos(x-x)+2x=0 \\ cos(x-x)+2y=0\end{vmatrix} \Rightarrow x=y=-0.5 \end{eqnarray*}$

Bildet man nun die 2ten Ableitungen erhält man:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} -sin(x-y)+2=0 \\ sin(x-y)-2=0\end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Wertet man diese an x=y=-0.5 aus und bildet die HesseMatrix ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was dann, als indefinite Matrix gilt, womit an dem kritischen Punkt (x,y)=(-0.5,-0.5) ein Sattelpunkt vorliegt.

------------------------------
Ist obige Ausführung richtig, oder ist irgenwo ein Fehler drin?

17.09.2012, 18:04

Mystic

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Ich kapier das einfach nicht... unglücklich

Deine Funktion lautet doch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sin(x-y)+x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig? verwirrt

Wenn ja, warum ist dann bei dir

$\begin{eqnarray*} f_y=-\cos(x-y) \ - 2y \end{eqnarray*}$

d.h., wo kommt das Minus vor 2y her???

Edit: Btw, warum schreibst du deine Gleichungen zwischen zwei senkrechten Strichen, wie z.B. hier

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos(x-y)+2x=0 \\ -cos(x-y)-2y=0 \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Sind das Betragsstriche oder meinst du, es geht hier schon um Determinanten? verwirrt

Beides wäre natürlich falsch...

17.09.2012, 18:08

ichebem

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*autsch*

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\sin(x-y)+x^2-y^2 \end{eqnarray*}$

17.09.2012, 18:23

Mystic

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Au weia, und das bemerkst du erst jetzt, obwohl ich die ganze Zeit schon sage, dass mit der Ableitung nach y etwas nicht in Ordnung ist... Forum Kloppe

Ok, das hier würde dann aber stimmen (bis auf die ominösen Senkrechtstriche, s.o.)...

Zitat:

Original von ichebem_

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} cos(x-x)+2x=0 \\ cos(x-x)+2y=0\end{vmatrix} \Rightarrow x=y=-0.5 \end{eqnarray*}$

Der Rest ist für mich aber wieder undurchsichtig... Berechne doch bitte mal sauber

$\begin{eqnarray*} f_{xx}=\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy}=f_{yx}=\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy}=\ldots \end{eqnarray*}$

und setze erst danach den kritischen Punkt (-1/2,-1/2) ein...

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