Extremwertaufgabe mit NB (mehrere Veränderliche)

17.09.2012, 16:22	Bash	Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe mit NB (mehrere Veränderliche) Meine Frage: Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray} h : \mathbb R^{2} \ {(0,0)} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} h(x,y)=\frac{1}{x^{2}+y^{2}-xy } \end{eqnarray}$ Weiterhin sei $\begin{eqnarray} F : \mathbb R^{2} \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} F(x,y)=x^{2}+y^{2}-2 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die globalen Maxima und Minima von h unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray} F(x,y)=0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich würde jetzt von beiden den Gradienten bilden und das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} \nabla h(x,y)=\lambda \nabla F(x,y)<br /> \Rightarrow \nabla h(x,y)- \lambda * \nabla F(x,y)=0 \end{eqnarray}$ bilden. Für Lambda bekomme ich: $\begin{eqnarray} \lambda = \frac{1}{(x^{2} +y^{2} -xy)^{2}} \end{eqnarray*}$ raus doch wie mache ich jetzt weiter? Ich verstehe hier den Zusammenhang zu den Extrma nicht. // edit ich weiß nicht wie ich hier nun zu meiner Hessematrix komme.
18.09.2012, 00:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem Ansatz nach Lagrange ergeben sich die beiden Gleichungen $\begin{eqnarray} (1) \ 2x - y = 2 \lambda x (x^2 + y^2 - xy)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2) - x + 2y = 2 \lambda y (x^2 + y^2 - xy)^2 \end{eqnarray}$ ________________________________________ Mittels Division folgt bald $\begin{eqnarray} x^2 - y^2 = 0 \end{eqnarray}$ und dies wird mit der Nebenbedingung zu einem einfachen Systen für x, y ... mY+
18.09.2012, 13:07	Bash	Auf diesen Beitrag antworten »
ist H abgeleitet nach x nicht: $\begin{eqnarray} = \frac{0-(2x-y)}{(x^{2} + y^{2} -xy)^{2} } \end{eqnarray}$ demnach würde ich analog bei y auf folgene Formel nach Division kommen: $\begin{eqnarray} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = 0 \end{eqnarray}$ mit der NB nach x,y aufgelöst würde ich auf die gleichen Punkte wie du kommen, also (1,1),(-1,1),(-1,-1),(1,-1). Nun nur noch in die Hessematrix einsetzen und auf ihre Definitheit prüfen? zweimal nach x abgeleitet ist bei mir: $\begin{eqnarray} \frac{6x(x-y)}{(x^{2} -xy + y^{2} )^{3} } \end{eqnarray*}$ ist das richtig? gibt es einen schnellen Weg solche Ableitungen zu berechnen?
18.09.2012, 16:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Rechnung und die erhaltenen 4 Punkte sind richtig (meine Ableitungen waren es übrigens auch!). Vor der mit Lambda multiplizierten Nebenbedingung kann man auch ein negatives Vorzeichen setzen (wie ich es getan habe), deswegen unterscheiden sich unsere Lambdas dann durch das Vorzeichen. mY+

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