Verträglichkeit von Normen

03.02.2007, 15:33

chewy

Verträglichkeit von Normen

Folgendes:
Die Matrixnorm $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ heißt verträglich mit den Vektornormen $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_a \end{eqnarray*}$ auf dem $\begin{eqnarray*} C^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_b \end{eqnarray*}$ auf dem $\begin{eqnarray*} C^m \end{eqnarray*}$ falls
$\begin{eqnarray*} \|Ax\|_b \leq \|A\| \|x\|_a \ \forall \ x \in C^n,\ A\in M(m,n). \end{eqnarray*}$
(Stoer, Numerische Mathematik S.211)

Mein Problem ist jetzt die Benutzung. Klar. Ich setze meine Matrixnorm in $\begin{eqnarray*} \|\cdot\| \end{eqnarray*}$ ein und meine Vektornorm in $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_a \end{eqnarray*}$ und gucke ob das Produkt grösser glecih was ist? Da liegt mein Problem was ist die linke Seite. Was setze ich da ein?

chewy

05.02.2007, 10:09

Ambrosius

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So ganz verstehe ich deine Frage nicht. Es ist doch erstmal nur die Def der Verträglichkeit.

Du nimmst dir einen beliebigen Vektor x und multiplizierst ihn mit der Matrix A. Dann erhälst du wieder einen Vektor, dessen Norm kleiner sein muss, also das Produkt der Matrizennorm und der a-Norm des Vektors

10.03.2007, 16:13

kot

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RE: Verträglichkeit von Normen
O mann O mann da ist Vektor -Matrix Produkt Hammer

mach so: zusamen mit $\begin{eqnarray*} y=Ax \end{eqnarray*}$ ,wobei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ein Vektor ist gilt $\begin{eqnarray*} \left\|Ax\right\|_{b} =\left\|y\right\|_{b} \end{eqnarray*}$

10.03.2007, 16:16

kot

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RE: Verträglichkeit von Normen
ubrigens du kannst auch so machen $\begin{eqnarray*} \left\|Ax\right\|_{b}=\left\|A\right\|_{b}\left\|x\right\|_{b} \end{eqnarray*}$ Zunge

26.01.2009, 14:46

hxh

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RE: Verträglichkeit von Normen

Zitat:

Original von kot
ubrigens du kannst auch so machen $\begin{eqnarray*} \left\|Ax\right\|_{b}=\left\|A\right\|_{b}\left\|x\right\|_{b} \end{eqnarray*}$ Zunge

Hab mal ne Frage wieso man das so auseinanderziehen darf ?

26.01.2009, 14:53

tigerbine

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RE: Verträglichkeit von Normen
Ich würde meinen, dass das falsch ist. Eine induzierte Matrixnorm (das soll es hier ja wohl wegen dem gleichen Index) sein, ist mit ihrer Vektornorm verträglich. Dort steht dann aber ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ dazwischen.

26.01.2009, 14:58

hxh

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Ok kam mir auch sehr spanisch vor darum hab ich mal nachgefragt.

26.01.2009, 15:27

Dual Space

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RE: Verträglichkeit von Normen

Zitat:

Original von hxh

Zitat:

Original von kot
ubrigens du kannst auch so machen $\begin{eqnarray*} \left\|Ax\right\|_{b}=\left\|A\right\|_{b}\left\|x\right\|_{b} \end{eqnarray*}$ Zunge

Hab mal ne Frage wieso man das so auseinanderziehen darf ?

Wenn $\begin{eqnarray*} \|\cdot\|_b \end{eqnarray*}$ die Vektornorm in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C}^m \end{eqnarray*}$ ist würde ich doch schon mal fragen, ob $\begin{eqnarray*} \|A\|_b \end{eqnarray*}$ für eine Matrix A überhaupt definiert ist. verwirrt

26.01.2009, 15:40

tigerbine

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RE: Verträglichkeit von Normen
Es ist üblich, die induzierte Matrixnorm genauso zu schreiben. Verwechslungen inklusive. Augenzwinkern

Oder was meinst du?

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