Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge

18.09.2012, 11:48	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge Meine Frage: Gibt es bezüglich irgendeiner Metrik auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^{2} \end{eqnarray}$ eine stetige Abbildung $\begin{eqnarray} f:\mathbb R ^{2} -> \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft $\begin{eqnarray} f([0,1]\times [0,1])=\mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich denke dass man hier über das Urbild argumentieren muss. Also Urbilder offener (abgeschlossener) Mengen unter stetigen Abbildung sind offen (abgeschlossen). Das Urbild ist hier ja eine kompakte Menge und daher abgeschlossen. Meine Frage ist nun, ob der $\begin{eqnarray} R^{2} \end{eqnarray}$ offen oder abgeschlossen ist. Ich meine, er ist beides...sowohl offen und abgeschlossen...aber dann weiß ich nicht, wie ich mich entscheiden soll
18.09.2012, 13:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge Hallo, das Kriterium mit den offenen Mengen gilt natürlich nur für die durch die Metrik induzierten offenen Mengen. Mit Standardmetrik ist $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ tatsächlich offen und abgeschlossen, das Urbild muss also auch beides sein. (Achtung: Der Definitionsbereich als metrischer Raum betrachtet ist auch stets offen und abgeschlossen) Probier es aber mal mit der diskreten Metrik (mindestens auf dem Definitionsbereich). Überlege dir dazu, wann eine Funktion stetig ist, die von einem mit der diskreten Metrik ausgestatteten Raum in irgendeinen anderen abbildet. mfg, Ché Netzer
19.09.2012, 09:01	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge Ist nicht jede Abbildung bezüglich der diskreten Metrik stetig? Ich verstehe nicht, wieso mich diese Überlegung weiterbringt...
19.09.2012, 10:10	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge Ja, damit ist jede Abbildung stetig. Jetzt kannst du dir irgendeine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray} (0,1)^2\to\mathbb R^2 \end{eqnarray}$ wählen und diese beliebig fortsetzen.
20.09.2012, 08:21	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge ich verstehs nicht...
20.09.2012, 09:41	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Abbildung auf einer kompakten Menge Kannst du eine Funktion finden, die von $\begin{eqnarray} (0,1)^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ abbildet und surjektiv ist? (die kann dann sogar nach Standardmetrik stetig sein) Wenn ja, dann setze die Funktion beliebig auf $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ fort und du hast deine gewünschte Funktion.
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