Konvergenz einer Reihe

18.09.2012, 12:02

B4rT

Konvergenz einer Reihe

Hallo,

ich habe bei einer Aufgabe Probleme und würde mich freuen, wenn ihr mir etwas auf die Sprünge helfen könntet (oder meine Zweifel aus dem Weg räumt).

Konkret geht es um diese Aufgabe:

Man soll die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k\sqrt{k} }{3^k} \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz war das Wurzelkriterium:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{\frac{k\sqrt{k} }{3^k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ kann man auch als k^{3/2} schreiben.

Ergibt dann:

$\begin{eqnarray*} (\frac{k^{3/2} }{3^k})^{1/k}<br /> <br /> \frac{k^{3/2k} }{3})<br /> <br /> \lim_{k \to \infty } \frac{k^{3/2k} }{3} \end{eqnarray*}$

Das wäre dann "quasi" $\begin{eqnarray*} \infty ^0 \end{eqnarray*}$ im Zähler. Aber das ist doch ein unbestimmter Ausdruck und nicht 1, oder doch? Oder ist 1/3 wirklich das Ergebnis, weil es nur dagegen strebt?

Wäre nett, wenn mir jmd. sagen könnte, ob das Ergebnis so stimmt oder ob ich mit dem WK ggf. vollkommen auf dem Holzweg bin. Ist das hier vlt. ein Sonderfall, der mir nicht geläufig ist?
Mit dem Quotientenkriterium komme ich erst recht auf kein Ergebnis...

Vielen Dank für eure Hilfe und Mühe smile

Matthias

18.09.2012, 12:06

Mazze

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Überlege dir mal den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty}{\sqrt[k]{k}} \end{eqnarray*}$

der Rest ergibt sich dann (Potenzgesetze). Ansonsten sind die Schritte aber in Ordnung.

18.09.2012, 12:08

Shortstop

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Hallo!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to \infty} e^{\frac{ln(x)}{x}} = \cdots \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x} \end{eqnarray*}$

mit L'Hospital zu lösen ist.

18.09.2012, 12:36

B4rT

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Hallo,

erst einmal danke euch beiden für die raschen Antworten.

Ich vertuddel mich hier die ganze Zeit leider..

Meine Annahme war, L'Hospital dürfe man nur auf Zähler und Nenner gleichermaßen anwenden. Darf ich nur den Zähler alleine damit betrachten? Der Nenner würde ja sonst 0 werden beim Ableiten einer Konstanten...?

Wie sähe das dann weiter aus?

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{3}{2k}ln(k) \end{eqnarray*}$

Wäre wieder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ ?

Also nochmal ableiten?

Es tut mir Leid, mein ganzes Unvermögen kommt hier zum Vorschein. Sitze schon so lange davor und komme einfach nicht weiter..

18.09.2012, 12:44

Shortstop

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Zitat:

Original von B4rT
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{3}{2k}ln(k) \end{eqnarray*}$

Wäre wieder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ ?

Also nochmal ableiten?

Wieso "nochmal"? Zu diesem Zeitpunkt hast du L'Hospital noch nicht angewandt. Jetzt einfach Zähler und Nenner jeweils ableiten und prüfen, ob du einen ordentlichen Grenzwert bekommst.

edit: Ich weiß jetzt was du meinst. Du solltest meinen Hinweis auf deinen Fall übertragen, etwa so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } \frac{k^{3/2k} }{3} = \frac{\lim_{k \to \infty }k^{3/2k}}{3}= \frac{\lim_{k \to \infty }e^{{3 ln(k)}/2k}}{3} = \frac{e^{\lim_{k \to \infty } {3 ln(k)}/2k}}{3} \end{eqnarray*}$

Und jetzt L'Hospital...

18.09.2012, 12:52

B4rT

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Oh man, stimmt, das war ja nur umgeschrieben..

Also:

$\begin{eqnarray*} \frac{3ln(k)}{2k} \end{eqnarray*}$

=

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3}{k}}{2} \end{eqnarray*}$

= 0?

18.09.2012, 12:54

Shortstop

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Jetzt noch ordentlich ein "lim" davor und dann passts Augenzwinkern

18.09.2012, 12:56

B4rT

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Mein Held. Big Laugh

Tausend Dank!!!!

Zum Glück hat dieser Spuk bald ein Ende Freude

18.09.2012, 13:00

Shortstop

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Manchmal steht man halt ein bisschen auf dem Schlauch, freut mich dass du es jetzt raus hast. Freude

18.09.2012, 14:29

Mork vom Ork

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RE: Konvergenz einer Reihe
Mittels einer recht simplen Abschätzung hättest Du auch eine geom. Reihe als konv. Majorante entlarven können.

Für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} n^2\leq 2^n. \end{eqnarray*}$

Also gilt weiter (für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ ):

$\begin{eqnarray*} n\sqrt{n}\left(\frac 13\right)^n\leq n^2\left(\frac 13\right)^n\leq \left(\frac 23\right)^n. \end{eqnarray*}$

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