Hopital für Limes des stetigen Wachstums

03.02.2007, 14:42

Harald Kurse

Hopital für Limes des stetigen Wachstums

Ich möchte $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} (1+\frac{x}{a})^a \end{eqnarray*}$ berechnen.

Umgeformt ergibt das dann $\begin{eqnarray*} exp(\lim_{a \to \infty}\frac{log(1+\frac{x}{a})}{\frac{1}{a}}) \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich die Regel von Hopital anwenden, wie berechne ich die Ableitung vom Zähler und die Ableitung vom Nenner?

Danke

03.02.2007, 14:55

ich bin smile

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Wieso machst du dir so viele Mühen?

Wenn ich mich nicht irre, steht ganz oben eine Schreibweise der natürlichen Exponentialfunktion.

03.02.2007, 14:58

Harald Kurse

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Wir haben diesen Weg in den Übungen nahe gelegt bekommen, jetzt wär ich den mal gerne abgelaufen.

03.02.2007, 15:10

ich bin smile

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Für den Nenner die Potenzgesetze. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}=a^{-1} \end{eqnarray*}$

Für den Zähler die Ableitung des nat. Logarithmus und die Kettenregel.
(ln(a))'=1/a und (f(g(a)))'=f'(g(x))*g'(x)

05.02.2007, 12:03

Harald Kurse

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im Nenner kriege ich dann also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{a^2} \end{eqnarray*}$

im Zähler forme ich wie folgt um

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1+\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$

Um die Kettenregel zu benutzen, teile ich das wie folgt auf

$\begin{eqnarray*} f(x):= g(h(x)), \\g(x) := lnx,\\ h(x) := (1+\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$

gibt dann für die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{x}, h'(x) = \frac {1}{a} \end{eqnarray*}$

also wäre dann $\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{1}{a+x} \end{eqnarray*}$

damit gibts dann für $\begin{eqnarray*} \frac{f'(x)}{g'(x)} = -\frac{a^2}{a+x} \end{eqnarray*}$

da weiss ich jetzt nicht, wie ich die Hopitalregel anwenden muss.

05.02.2007, 12:17

klarsoweit

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Zitat:

Original von Harald Kurse
$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1+\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$

Du machst hier einen schwerwiegenden Fehler. Deine Funktion ist von a abhängig, nicht von x. Augenzwinkern

10.02.2007, 09:55

Harald Kurse

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Also wenn ich diesen Ausdruck

$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1+\frac{x}{a}) \end{eqnarray*}$

nach a ableite, kriege ich ja folgendes $\begin{eqnarray*} f'(x) = -\frac{x}{a(a+x)} \end{eqnarray*}$

aber, das bringt mich dann auch nicht weiter. Zudem ist mir nicht klar, weshalb ich nach a ableiten muss, die Funktion ist ja f(x), nicht f(a)? verwirrt

10.02.2007, 10:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Harald Kurse
Zudem ist mir nicht klar, weshalb ich nach a ableiten muss, die Funktion ist ja f(x), nicht f(a)? verwirrt

Da der Limes über a gebildet wird, ist a die variable Größe. Das x ist irgendeine beliebige, aber feste Konstante. Es muß also heißen:
$\begin{eqnarray*} f(a) = ln(1 + \frac x a) \end{eqnarray*}$

10.02.2007, 10:48

Harald Kurse

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Zitat:

Original von klarsoweit

Da der Limes über a gebildet wird, ist a die variable Größe. Das x ist irgendeine beliebige, aber feste Konstante. Es muß also heißen:
$\begin{eqnarray*} f(a) = ln(1 + \frac x a) \end{eqnarray*}$

Ok, danke. Die Ableitung, die ich gemacht habe, stimmt oder? Jetzt ist noch das Problem, dass ich nicht weiterkomme, ich fasse mal zusammen was bisher gelaufen ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to \infty} (1+\frac{x}{a})^a = exp(\lim_{a \to \infty}\frac{log(1+\frac{x}{a})}{\frac{1}{a}}) \end{eqnarray*}$

Nun wende ich Hopital an und kriege:

$\begin{eqnarray*} \frac{(log(1+\frac{x}{a}))'}{(\frac{1}{a})'}= - \frac{ax}{a+x} \end{eqnarray*}$ Kann ich jetzt einfach nochmal Hopital anwenden?

10.02.2007, 12:06

Abakus

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Zitat:

Original von Harald Kurse
Nun wende ich Hopital an und kriege:

$\begin{eqnarray*} \frac{(log(1+\frac{x}{a}))'}{(\frac{1}{a})'}= - \frac{ax}{a+x} \end{eqnarray*}$ Kann ich jetzt einfach nochmal Hopital anwenden?

Wie sieht hier die vollständige Rechnung aus ? (ich habe ein anderes Vorzeichen)

Ansonsten weißt du, dass ein bestimmter Typ von Grenzwerten vorliegen muss, wenn du die Regeln von de L'Hospital anwenden willst. Das musst du demnach prüfen.

Grüße Abakus smile

10.02.2007, 16:53

klarsoweit

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Zitat:

Original von Harald Kurse
$\begin{eqnarray*} \frac{(log(1+\frac{x}{a}))'}{(\frac{1}{a})'}= - \frac{ax}{a+x} \end{eqnarray*}$ Kann ich jetzt einfach nochmal Hopital anwenden?

Nicht nötig. Kürze einfach durch a. Dann Grenzwert bilden.

Und noch die Sache mit dem Vorzeichen klären.

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