Fourierreihe

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18.09.2012, 12:41	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Fourierreihe Meine Frage: Gibt es eine $\begin{eqnarray} 2\pi-periodische \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [-\pi,\pi] \end{eqnarray}$ quadratisch-integrierbare Funktion, deren Fourierreihe die Gestalt hat: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{sin(nx)}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe Probleme mit dieser Aufgabe. Wir haben in den Übungen schon öfters untersucht, gegen welche Funktion eine vorher ausgerechnete Fourierreihe konvergiert. Dabei waren aber dann immer andere Voraussetzungen gegeben, wie zum Beispiel dass die Funktion, zu der die Fourierreihe gerechnet wurde stetig, stetig diffbar war...daher konnte man die Sätze anwenden, dass die Reihe dann glm gegen f konvergiert. Aber hier weiß ich nicht, wie ich herangehen könnte.
18.09.2012, 14:23	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Kennst du die Parseval'sche Identität? Mit der dürfte das Ding recht schnell abgehandelt sein. (Widerspruch)
19.09.2012, 08:47	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
In unserem Skript haben wir die Parseval'sche Gleichung notiert $\begin{eqnarray} \langle f,g \rangle=\sum\limits_{\alpha \in A} \langle f,w_\alpha \rangle \overline{\langle g, w_\alpha \rangle} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} w_\alpha \end{eqnarray}$ ONS ist. Aber...das scheint mir ungeeignet ;-) Das Internet liefert mir: $\begin{eqnarray} {\frac{1}{\pi} \int_{-\pi} ^\pi \! \| f(x) \| ^{2} \, dx } =\frac{{a_0}^2}{2} + \sum\limits_{k=1}^\infty ({a_k}^2+{b_k}^2) \end{eqnarray}$ Aber selbst mit der komme ich irgendwie nicht weiter...da ich ja nichts über f weiß....
19.09.2012, 10:35	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte das Zweite. Und du weisst eine Sache, zwar nicht explizit über die Funktion sondern über dessen Integral .
19.09.2012, 11:05	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte noch nen Tipp :-(
19.09.2012, 11:06	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
deine a_n sind hier doch 1/wurzeln, wenn du das jetzt quadrierst kommt da eine folge raus die ziemlich bekannt wofür ist...? und wie widerspricht sich das mit deinen forderungen die du an f hast?
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19.09.2012, 11:11	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
@Auli: Es sind doch genau genommen die $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ; die $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sind alle Null.
19.09.2012, 11:32	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitionssache (hast schon recht, ist aber jetzt hier relativ egal oder?)
19.09.2012, 11:38	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, natürlich ist das egal Aber in der Gleichung oben kommt ja auch ein $\begin{eqnarray} a_0 \end{eqnarray}$ vor, also werden die $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ hier wohl die Cosinus-Terme sein.
19.09.2012, 11:45	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich eine leise Ahnung...ich melde mich später nochmal...lasst mich bitte net allein :P
19.09.2012, 11:50	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin noch zwei Stunden da, dann schreib ich ne Klausr bis dahin verbringe ich lieber meine Zeit hier mit Sachen wovon ich ne Ahnung habe, statt mit dem Vorlesungsstoff.
19.09.2012, 11:58	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Entscheidung Was für eine Klausur ist es denn? Naja, ich selbst bin eigentlich den Rest des Tages hier, ich habe mir nämlich den Fernseher als zweiten Bildschirm eingerichtet, auf dem ich dann die Skripte etc. geöffnet habe. Nach den zwei Stunden könnte ich also übernehmen, wenn es bis dahin noch nicht geklärt sein sollte.
19.09.2012, 12:21	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das sehe ich auch $\begin{eqnarray} a_0=0 \ ,a_n=0 \ ,b_n=\frac{1}{\sqrt{n} } \end{eqnarray}$ Wenn ich die b_n jetzt quadriere habe ich eine Nullfolge? Ich verstehe aber nicht, warum ich das quadrieren muss...oder kann. Und warum widerspricht sich das mit den Forderungen an f?
19.09.2012, 12:28	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
@Che Netzer Nennt sich Differentialgleichungen und Hilberträume... Explizit DGLs lösen ist nicht so das Problem, eher die Vorgehensweise mit Operatoren, Resolventen etc. . Da steige ich nicht so durch Du bekommst erstmal diese Reihe: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ weisst du was mit dieser Reihe passiert? Weisst du was es heisst dass f quadratintegrierbar ist...? Hoffe das hilft dir weiter Edit: Das mit dem Quadrat sagt dir die Parsevalsche Identität. Edit2: $\begin{eqnarray} {\frac{1}{\pi} \int_{-\pi} ^\pi \! \| f(x) \| ^{2} \, dx } =\sum\limits_{k=1}^\infty \frac {1}{k} \end{eqnarray}$ lautet der komplette Audruck
19.09.2012, 12:34	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Reihe divergiert. Quadratisch integrierbar bedeutet doch $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \| f(x) \| ^2 \, dx <\infty \end{eqnarray}$ Würde heißen, dass das Integral nicht $\begin{eqnarray} <\infty \end{eqnarray}$ ?
19.09.2012, 12:35	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja mit dem Quadrat war ne sau dumme Frage ;-) Hab nicht richtig hingeschaut
19.09.2012, 12:36	Auli	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, du nimmst an es gäbe so ein f und deine Reihe ist die zugehörige Fourierreihe, bekommst aber raus dass das Integral über f unendlich ist. Widerspruch => gibt kein solches f
19.09.2012, 12:44	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool Vielen Dank!

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