Potenzreihe für alle x e R konvergent

18.09.2012, 13:46

blade22

Potenzreihe für alle x e R konvergent

Hallo zusammen, folgende Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^{n+2} }{(n+2)n!} \end{eqnarray*}$

Diese soll auf Konvergenz geprüft werden, wegen ! wird das QK genutzt mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } |\frac{a_{n+1} }{a_{n} } | \end{eqnarray*}$

Nach der Vereinfachnung bleibt dann folgendes übrig:
$\begin{eqnarray*} | x | \frac{(n+2)}{(n+3)(n+1)} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Und ab diesen Punkt gehts für mich nicht mehr weiter, kann jemand helfen?

18.09.2012, 13:59

Mystic

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RE: Potenzreihe für alle x e R konvergent

Zitat:

Original von blade22
Hallo zusammen, folgende Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{x^{n+2} }{(n+2)n!} \end{eqnarray*}$

Hm, zunächst mal ist das ja keine Reihe, sondern eine Summe aus n Summanden... Ferner sind diese ja alle konstant, da in ihnen der Summationsindex k ja gar nicht vorkommt... Wo ist also dein Problem? verwirrt

18.09.2012, 14:04

blade22

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Ups ist was falsch geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+2)n!} \end{eqnarray*}$

Die Fragestellung ist ob diese Potenzreihe für alle x Element R konvergent ist.

18.09.2012, 14:07

Mystic

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Mein Rat: Leite diese Reihe zuerst einmal gliedweise ab... Dadurch ändert sich der Konvergenzradius der Reihe ja nicht (möglicherweise aber das Konvergenzverhalten an den Rändern!) und sie schaut dadurch gleich sehr viel netter aus... Augenzwinkern

18.09.2012, 14:25

blade22

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Abgeleitet ist:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n!} \end{eqnarray*}$

was mit QK auf:

$\begin{eqnarray*} | x | \frac{1}{(n+1)} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } x = \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n} } \leq 1= \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$

folgt.

18.09.2012, 14:32

Mystic

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Zitat:

Original von blade22
was mit QK auf:

$\begin{eqnarray*} | x | \frac{1}{(n+1)} \Rightarrow \lim_{n \to \infty } x = \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n} } \leq 1= \frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$

folgt.

Das verstehe ich nicht, was schon damit beginnt, dass

$\begin{eqnarray*} | x | \frac{1}{(n+1)} \end{eqnarray*}$

eine Zahl bzw. Ausdruck ist, aber keine Aussage, aus der irgendwas folgen kann... Des weiteren finden sich da und dort eingestreute Gleichheitszeichen, die mich beim Lesen total aus der Bahn werfen... geschockt

Kannst du näher erklären, was du da eigentlich machst? verwirrt

Und eigentlich hatte ich ja gehofft, dass du schon nach dem Ableiten sowas wie ein Aha!-Erlebnis haben würdest oder kommt dir diese Reihe so gar nicht bekannt vor? verwirrt

18.09.2012, 14:57

blade22

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zugegeben ist etwas krude geschrieben.

Ich muss auf den Konvergenzradius hinaus,heißt (abgeleitete) Potenzreihe mit WK oder QK <1 bearbeiten.
Nach QK und vereinfachung bleibt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | x | \frac{1}{(n+1)} =| x | \lim_{n \to \infty } \frac{\frac{1}{n} }{1+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

daraus folgt das:
$\begin{eqnarray*} | x | \frac{0}{1} \leq 1 \end{eqnarray*}$

und damit ist der Konvergenzradius:
$\begin{eqnarray*} | x | \leq \infty \end{eqnarray*}$

Somit ist gezeigt das alle x im Konvergenzradius liegen.

18.09.2012, 15:12

Mystic

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Ja, im Prinzip ist das schon richtig, aber formal noch immer etwas "holprig"... Warum rechnest eigentlich nicht direkt den Konvergenzradius der Reihe nach der Formel

$\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

aus, wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \ (i \in \mathbb N ) \end{eqnarray*}$ die Koeffizienten der Potenzreihe sind...

18.09.2012, 15:46

HAL 9000

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Gehört nicht zur Aufgabenstellung, aber ergänzend sei der Reihenwert genannt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+2)n!} = 1 - \frac{x^2}{2} + (x-1)e^x \end{eqnarray*}$

18.09.2012, 16:01

blade22

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Danke für die vielen Antworten.

Zitat:

Warum rechnest eigentlich nicht direkt den Konvergenzradius der Reihe nach der Formel $\begin{eqnarray*} r=\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| \end{eqnarray*}$

Hab ich das nicht im ersten Beitrag, sowie nach deinen Tip mit der Ableitung gemacht?
QK heißt Quozientenkriterium

Grüße

18.09.2012, 16:09

Mystic

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Zitat:

Original von blade22
Hab ich das nicht im ersten Beitrag, sowie nach deinen Tip mit der Ableitung gemacht?
QK heißt Quozientenkriterium

Ja, das QK für Quaotientenkriterium steht, habe ich mir schon gedacht, aber bei der Formel für den Konvergenzradius kommt erstens kein (!) x vor und zweitens wird der Quotient andersherum gebildet...

18.09.2012, 16:19

blade22

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Hallo,
ob man jetzt QK so oder so umschreibt hängt glaube ich stark von der Literatur ab.

Das Betrag (X) ist ja ein Restterm aus der gegebenen Potenzreihe die nicht von n abhängt,daher hab ich sie vor den Grenzwert gezogen. Habe mir angewöhnt diesen immer mit zu ziehen weil so am Ende Betrag (x) mal c kleinergleich 1 zum stehen kommt.

Grüße

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