Kettenbruch Wurzel 2

18.09.2012, 16:02

Kaisa

Kettenbruch Wurzel 2

Meine Frage:
Ich hatte in einer Vorlesung das Thema Kettenbruch. Ich weiß wie man einen Bruch in einen Kettenbruch umwandelt, aber ich weiß immer noch nicht wie ich beispielsweise Wurzel 2 in einen Kettenbruch bringe. Ich habe schon vieles darüber nachgelesen aber ich verstehe das einfach nicht. Kann mir das jemand simpel erklären. Vielen danke Augenzwinkern

Meine Ideen:
???

19.09.2012, 11:22

Mystic

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RE: Kettenbruch Wurzel 2
Zunächst einmal schaut ein (allgemeiner) Kettenbruch so aus

$\begin{eqnarray*} b_0+\cfrac{a_1}{b_1+\cfrac{a_2}{b_2+\cfrac{a_3}{b_3+\cfrac{a_4}{\;\,\ddots}}}}\quad \end{eqnarray*}$

wobei die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die Teilzähler und die $\begin{eqnarray*} b_i \end{eqnarray*}$ die Teilnenner des Kettenbruchs genannt werden... Wenn man sich aber nicht ausdrücklich auf diesen allgemeinen Fall bezieht, so meint man üblicherweise den Spezialfall $\begin{eqnarray*} a_i=1, i=1,2,... \end{eqnarray*}$ , d.h. also dann

$\begin{eqnarray*} b_0+\cfrac{1}{b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}}} \end{eqnarray*}$

Wenn du nun irgendein $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf die letzere Art darstellen willst, was hier sicher gemeint ist, so musst du dir dafür eigentlich nur überlegen, dass

$\begin{eqnarray*} b_0=\lfloor \alpha \rfloor \end{eqnarray*}$

ist, denn dann gilt ja offfensichtlich

$\begin{eqnarray*} \frac 1{\alpha-b_0} =b_1+\cfrac{1}{b_2+\cfrac{1}{b_3+\cfrac{1}{\;\,\ddots}}} \end{eqnarray*}$

und du kannst auf die gleiche Art und Weise

$\begin{eqnarray*} b_1=\left \lfloor \frac 1{\alpha-b_0} \right \rfloor \end{eqnarray*}$

bestimmen und in dieser Weise fortfahren und $\begin{eqnarray*} b_2,b_3,... \end{eqnarray*}$ berechnen, bis du eine Periodizität entdeckst...

Probier's doch einfach mal aus für $\begin{eqnarray*} \alpha=\sqrt 2 \end{eqnarray*}$ ... Augenzwinkern

21.09.2012, 13:38

Kaisa

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RE: Kettenbruch Wurzel 2
Danke für deine schnelle Antwort. Es ist schon etwas Licht ins dunkle gekommen.
Also ich würde das dann so machen

1
_____ = 2,4142.... also das b1 ist =2
Wurzel 2 -1

Also habe ich schon 1.2 (b0=1, b1=2)

Aber wie geht es jetzt weiter?

(Ich habe hier ne Seite gefunden aber da verstehe ich das auch nicht http://parsys.informatik.uni-oldenburg.d.../vortrag_bw.pdf da ist ein Beispiel mit Wurzel 52. Aber ich verstehe nicht warum im 2 schritt steht 3 / wurel 52 - 5 (wieso 3 und -5)

21.09.2012, 14:01

HAL 9000

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(Der PDF-File ist mir nicht zugänglich, wird gesperrt von meinem Firmen-Proxy-Filter)

Du musst einfach so rechnen, wie Mystic es vorgezeichnet hat, aber mit den exakten Wurzelwerten statt nur mit ungenauen Kommazahlen. Das bedeutet hier

Zitat:

Original von Kaisa
1
_____ = 2,4142.... also das b1 ist =2
Wurzel 2 -1

exakterweise

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1 = 2 + (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b_1=2 \end{eqnarray*}$

Da nun der Rest $\begin{eqnarray*} (\sqrt{2}-1) \end{eqnarray*}$ bereits exakt derselbe ist, wie im vorigen Schritt, muss logischerweise $\begin{eqnarray*} b_k=2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$ sein!!!

21.09.2012, 15:01

Math1986

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Zitat:

Original von HAL 9000
(Der PDF-File ist mir nicht zugänglich, wird gesperrt von meinem Firmen-Proxy-Filter)

Liegt wohl eher daran, dass die URL unvollständig ist:
http://parsys.informatik.uni-oldenburg.d.../vortrag_bw.pdf

21.09.2012, 15:04

Kaisa

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Also er hat ja geschrieben
1/wurzel2-7 = 1(wurzel52+7)/3 = wurzel52+7/3 = wurzel52-5/3

Ich verstehe nicht wie zb im 2 schritt auf die 3 kommt und dann am Ende auf die 5

Tut mir leid unglücklich

21.09.2012, 15:09

HAL 9000

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Vorbildliche Lesbarkeit, und dann auch noch wichtige Terme weggelassen... unglücklich

Wahrscheinlich war sowas gemeint:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{52}-7} = \frac{\sqrt{52}+7}{52-7^2} = \frac{\sqrt{52}+7}{3} = 4 + \frac{\sqrt{52}+7-4\cdot 3}{3} = 4 + \frac{\sqrt{52}-5}{3} \end{eqnarray*}$

Letzterer Schritt mit der Abtrennung der 4 wurde getätigt, weil bei $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{52}+7}{3} \approx 4.737 \end{eqnarray*}$ der Ganzzahlanteil gleich 4 ist.

Zitat:

Original von Math1986
Liegt wohl eher daran, dass die URL unvollständig ist:

Ja richtig - habe ich nicht drauf geachtet, weil die Fehlermeldung leider dieselbe ist.

21.09.2012, 15:19

Kaisa

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Ja tut mir leid smile

DANKE jetzt habe ich das verstanden smile

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