Hessematrix und der Sattelpunkt

18.09.2012, 16:34	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hessematrix und der Sattelpunkt Hallo zusammen, ich habe die Funktion gegeben und soll sie auf Extrema untersuchen: $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f(x,y,z)=x^2+2xy-\frac{2}{3}z^2 \end{eqnarray}$ Ich habe den Gradienten gebildet und es kam nur der Punkt 0,0,0 in Frage. Ich habe die Hessematrix aufgestellt: $\begin{eqnarray} H_{x_{0}}f= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{4}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich dank den Hauptmenoren das Extremum ausschließen, da sie positiv und negativ sind. Der dritte Hauptmenor bzw. die det(H) ist aber größer null? Ich nahm bis jetzt an, dass die bei größer null auch ein Extrema haben muss. Außerdem wird in der Lösung gesagt, dass es ein Sattelpunkt sein muss. Aber die det ist ja größer null . Irgendwo denke ich falsch!
18.09.2012, 16:43	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hessematrix und der Sattelpunkt Hallo, du hast es doch schon geschrieben: Die Hauptminore sind positiv und negativ, daher kann man nicht auf ein Extremum schließen. Dass es ein Sattelpunkt ist, merkt man schön an $\begin{eqnarray} \left(\tfrac1n,-\tfrac1n,0\right) \end{eqnarray}$ . mfg, Ché Netzer PS/Edit: Es heißt übrigens "Minoren", nicht "Menoren".
18.09.2012, 17:15	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ich meine die Bedingung, dass die det(H)<0 sein muss für einen Sattelpunkt und bei mir ist det(H)>0. Oder ist das keine richtige Bedingung: det(h)<0 dh Sattelpunkt
18.09.2012, 17:27	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit dem 3. Hauptminor hat das rein gar nichts zu tun... Du musst folgendermaßen vorgehen 1. Sind die Minoren $\begin{eqnarray} M_1,M_2,M_3 \end{eqnarray}$ abwechselnd negativ und positiv, und zwar mit $\begin{eqnarray} M_1<0 \end{eqnarray}$ beginnend(!!!), dann liegt ein Maximum vor... 2. Sind alle Minoren positiv, dann liegt ein Minimum vor... 3. Sind alle Minoren von 0 verschieden und ist 1. und 2. nicht erfüllt, ist es sicher ein Sattelpunkt 4. Liegt keiner der Fälle 1-3 vor, dann ist die Sache noch unentschieden Statt 3. müsste man eigentlicher genauer sagen: Ist die Hessematrix nicht wenigstens semidefinit, dann ist es sicher ein Sattelpunkt...
18.09.2012, 17:36	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich wüsste nicht, wieso $\begin{eqnarray} \det H<0 \end{eqnarray}$ auf einen Sattelpunkt hinweisen sollte. Edit: Habe wohl mir zu lange Zeit zum Absenden des Beitrages gelassen
18.09.2012, 17:39	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sorry, dass ich dazwischengefunkt habe, bin aber jetzt weg...
Anzeige

18.09.2012, 18:03	stealth_mx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo danke! das mit der det <0 für Sattelpunkt gilt nur für n=2, das habe ich vergessen. danke für die Hilfe jetzt müsste das klappen

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »