Diskussionen zum Thread "Mathe-Marathon Uni"

Neue Frage »

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

edit von sulo: Ich habe mal die letzten Beiträge in einen eigenen Thread für den HS-Marathon geschoben und hoffe, es war im Sinne der an der bisherigen Diskussion beteiligten Mitglieder.

************************************************************************

Zum Uni-Thread: Ob wohl einer dieses Ping-Pong-Spiel der theoretischen Algebraiker beenden kann? Den ersten Teil der aktuellen Aufgabe

Zitat:
Original von tmo
Zeige, dass reduzibel über jedem Körper der Charakteristik ist.

kriege ich ja durch konstruktive Angabe hin, aber beim zweiten Teil habe ich wohl zu wenig Ahnung von . Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht genau, wie du bei der konstruktiven Angabe vorgegangen bist, aber wenn du mal überprüfst für welche Primzahlen es dir sogar gelingt 2 verschiedene Faktorisierungen in quadratische Polynome zu konstruieren...
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein, aber ich werde nicht rein durch konstruktives Vorgehen einen Beweis für die p haben, wo der zweite Teil nicht klappt - zumindest sehe ich nicht, wie das funktionieren sollte.
Auli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zum Uni-Thread: Ob wohl einer dieses Ping-Pong-Spiel der theoretischen Algebraiker beenden kann? Den ersten Teil der aktuellen Aufgabe

Zitat:
Original von tmo
Zeige, dass reduzibel über jedem Körper der Charakteristik ist.

kriege ich ja durch konstruktive Angabe hin, aber beim zweiten Teil habe ich wohl zu wenig Ahnung von . Augenzwinkern

Ich hab bisher nur eine Einführungsvorlesung in Algebra und Zahlentheorie gemacht, was ich aber mitgenommen habe, ist dass wenn p = 1 mod 4 ist, ist -1 ein Quadrat in F_p.
Durch eine Substitution von X^4 durch Z^2 ergibt sich ja dann genau diese Situation

Linearfaktoren sind die Nullstellen des Polynoms also
was äquivalent dazu ist, dass -1 ein Quadrat in F_p ist. Von da aus muss man dann weiter zu X.
Leider weiss ich nicht wie (und ob) ich f dann faktorisieren kann und dann noch Mal was drauf loslassen kann, vorallem weiss ich nicht ob das was ich versuche überhaupt sinnvoll ist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich geb mal meine Variante des ersten Teils zum besten - vielleicht ist sie ausbaufähig für Teil 2 (und ich bin nur zu blind dafür), vielleicht aber auch nicht:

Zitat:
Für betrachte ich eine primitive Wurzel modulo , für die ist und somit

.

Für müsste hingegen



klappen.

Vielleicht kann ja jemand anderes damit was anfangen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Gefällt mir smile

Wenn man bedenkt, dass im 1. Fall eine Wurzel aus ist und im 2. Fall eine Wurzel aus ist, so könnte man das für Teil 2 ausbauen, wenn man zusätzlich zu Aulis Bemkerung, wann eine Wurzel aus existiert, auch noch weiß, wann eine Wurzel aus existiert.

Du hast nämlich im Zerfällungskörper von hier schon 2 der 3 Möglichkeiten angegeben, f als Produkt zweier quadratischer Polynome zu schreiben. Es gilt also nur noch herauszufinden, für welche p die Koeffizienten schon in liegen.


PS: Den zweiten Teil kann man aber auch mit elementarer Gruppentheorie und dem Wissen, dass zyklisch ist, bewältigen. Teufel


PS2: Dass der Uni-Thread ein bisschen ins Stocken gerät, kann nicht nur an der Algebra liegen. Mit der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel war auch niemand zufrieden Big Laugh Es ist aber auch gar nicht so einfach sich gute Aufgaben zu überlegen, bzw. gute Aufgaben rauszusuchen. Das könnte das Problem sein.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, es stimmt zwar, dass für meine letzte Aufgabe ein gerüttelt Maß an algebraischem Vorwissen - speziell aus der Ringtheorie - nötig war, was zwischendurch auch mal erlaubt sein sollte, bei dieser Aufgabe hier kann ich das aber absolut nicht erkennen... verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
bei dieser Aufgabe hier kann ich das aber absolut nicht erkennen... verwirrt

Ich weiß jetzt inzwischen wie es geht, aber wenn das alles so kleingeredet wird, dann habe ich auch keine Lust mehr, den Rest zu lösen. Außerdem sind ja auch die wirklichen Studenten gefragt. smile
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hier einfach mal eine Lösung des ersten Teils (der ist ja sowieso erledigt), die eine Idee enthält, die auch für den Teil 2 geeignet ist.

Dann kann bestimmt jemand außer HAL und Mystic den Teil 2 auflösen und das Ping-Pong ist vorbei Augenzwinkern



Der Fall ist klar, also gehen wir von p ungerade aus. Dann gilt aber .

Wegen und der Tatsache, dass diese Gruppe zyklisch ist, gibt es in also ein Element mit der multiplikativen Ordnung 8, was einer Nullstelle von entspricht (Mit sind auch Elemente der Ordnung 8, daher zerfällt sogar, aber das brauchen wir für den Beweis gar nicht).
Wäre irreduzibel, so wäre der kleinste Körper, indem eine Nullstelle hat, aber , Widerspruch.





Den konstruktiven Ansatz kann man so zusammenfassen:

Im Zerfällungskörper von gilt:



.

Daher ist nur zu zeigen, dass eine der Zahlen und ein Quadrat ist, was aber unmittelbar daraus folgt, dass das Produkt zweier Nichtquadrate ein Quadrat ist.

edit von sulo: Zeilenumbruch eingefügt, um die Überbreite der gesamten Threadseite zu reduzieren.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Na das ist doch mal was, was sich mit viel Fleiß und weitgehend ohne Zahlentheoriekenntnisse knacken lässt. Big Laugh


Fleiß, den offensichtlich niemand aufbringen will verwirrt

Dabei ist diese schöne Aufgabe doch wirklich sehr elementar und ohne Kunstgriff zu bearbeiten.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht als Anschub für Interessenten:

Man muss nur wiederholt nutzen, dass der Wert via mit dem halboffenen Intervall korrespondiert, was dann den Bereich für mögliche erheblich einengt...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die aktuelle Uni-Aufgabe zu uninteressant, oder im Gegenteil zu schwer? Falls letzteres der Fall sein sollte: Wünscht jemand Tipps?
mathe760 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein sie ist absolut nicht uninteressant! Ein Tipp wäre sehr schön smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man sollte mal über die größte der Kugeln nachdenken, sowie die Kugeln, die mit dieser größten Kugel einen nichtleeren Durchschnitt haben. Und die 27 ist ja auch irgendwie auffällig...
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zur aktuellen Aufgabe: Ich weiß nicht, ob jeder Student nach den "Grundlagenvorlesungen" mit transfiniter Induktion und dem Wohlordnungssatz vertraut ist.

Wenn man sich auf abzählbar viele Geraden beschränkt, so müsste man eigentlich ohne diese Technik auskommen.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, beim Stellen der Aufgabe war ich mir auch nicht sicher, ob ich diese Einschränkung zulassen soll. Ich weiß eben auch nur vom Hören/Sagen was an anderen Universitäten an logischen Grundlagen vermittelt wird und dachte mir, die Aufgabe erst einmal in vollem Umfang zu stellen.

Falls jemand an diesem Problem interessiert, aber in seinem Studium noch nicht über die transfinite Induktion gestolpert ist, so soll er gerne auch eine Lösung für abzählbar viele Geraden vorstellen. Diese Einschränkung ist für den Kern des Problems keine wesentliche.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Grouser
Falls jemand an diesem Problem interessiert, aber in seinem Studium noch nicht über die transfinite Induktion gestolpert ist, so soll er gerne auch eine Lösung für abzählbar viele Geraden vorstellen. Diese Einschränkung ist für den Kern des Problems keine wesentliche.

Ja, am Ende werden viele sagen: „Das also war des Pudels Kern!“ (Faust I)... Big Laugh
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke da bis jetzt niemand die Aufgabe aufgelöst hat, sollte dies Grouser nun tun.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

^this. Die Lösung interessiert mich sehr. Gott

MfG
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Also für abzählbar viele verschiedene Geraden geht es so:

Wir konstruieren induktiv die Mengen durch:



Ist bereits konstruiert, so sei der kleinste Index, für den die Gerade die Menge nur in höchstens einem Punkt schneidet.

Nun wählen für einen Punkt auf auf der Geraden , der noch nicht in liegt und zu keinen 2 Punkten aus kolinear ist. Wir setzen .

Man sieht leicht ein, dass solch ein Punkt existiert: Auf liegen überabzählbar viele Punkte, in liegen aber bis jetzt nur endlich viele Punkte, unter denen man auch nur endlich viele Geraden bilden kann, die nur je einmal schneiden. (Das ist der Schritt bei dem man genauer aufpassen muss, wenn man die ursprüngliche Aufgabe mit transfiniter Induktion bearbeitet)


Dann erfüllt die Bedinung, dass jede der Geraden diese Menge genau 2 mal trifft. erfüllt darüber hinaus sogar noch die Bedingung, dass jede Gerade der Ebene höchstens 2 mal getroffen wird.
Grouser Auf diesen Beitrag antworten »

Ehrlich gesagt wundert mich selbst, dass niemand bisher eine Lösung gepostet hat, da dieses Problem ein Vorzeigebeispiel für den Nutzen mathematischer Logik außerhalb ihrer eigentlichen Problemstellung ist.

Dennoch werde ich heute abend die Lösung posten und tmo bitten, das nächste Problem vorzustellen.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Hab gerade keine gute Aufgabe zur Hand. Falls also jemand die letzte Aufgabe mit Methoden aus Ana II/III / Maßtheorie lösen will und eine schöne Aufgabe stellen kann, nur zu Augenzwinkern

Ansonsten versuche ich bis Morgen Abend was parat zu haben.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Wo bleibt denn die nächste Aufgabe?
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo: Wir habens anders definiert, aber ok. Ich liefer nachher ne ordentliche ausführlichere Lösung nach - wie man zeigt, was die Einheiten sind, weiß ich. =)
Slash123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich löse dann morgen mal auf, denk ich. =)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die neue Aufgabe doch schwieriger als ich dachte?
Dann mal ein Tipp: In Banach-Räumen gibt es eine schöne Formel für den Spektralradius; die kann man hier anwenden.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem ist wohl eher weniger die Schwierigkeit als eher das Nichtinteresse, dass sich mittlerweile in dem Thread breitgemacht hat. Irgendwann wird halt alles langweilig unglücklich Liegt wahrscheinlich auch daran, dass es auf Dauer ziemlich schwer ist, gute (im Sinne von relativ elementar lösbar, aber anspruchsvoll) Aufgabe zu finden.

Ich gebe trotzdem noch ein Tipp, falls doch jemand Interesse hat (Und wenn es nur jemand auflöst, weil er eine bessere Aufgaben stellen kann Augenzwinkern )

Eigentlich ist ja der nur der Fall zu betrachten, bei dem nicht lösbar ist.

Die Lösbarkeit von ist dann äquivalent dazu, ein Nichtquadrat der Form zu finden. Letzteres sollte machbar sein.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Das Problem ist wohl eher weniger die Schwierigkeit als eher das Nichtinteresse, dass sich mittlerweile in dem Thread breitgemacht hat.

Momentan ist halt zuviel "Konkurrenz", z.B. wie jedes Jahr im Advent der Mathe-Kalender - obwohl der natürlich nicht Uni-Wissen voraussetzt, sondern eher "gehobenes" Schulwissen. Augenzwinkern

EDIT: Übrigens eine nette Aufgabe dort heute, vereint in schöner Weise gleich mehrere Teilgebiete (Kombinatorik, Analysis, Zahlentheorie) - auch wenn der "praktische Hintergrund" der Erzählstory angesichts der exorbitanten Zahlen ein wenig absurd wirkt. Big Laugh
Aus mathematischer Sicht aber m.E. die gelungenste Aufgabe bisher in diesem Jahr.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Will noch jemand oder soll ich einfach mal auflösen?
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Soll die Lösung von Aufgabe 45 nicht mittlerweile gepostet werden? verwirrt

Eine Woche ist ja schon lange um. Die Lösung würde mich jedenfalls interessieren....
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

@ tmo:
Das ging aber schnell. Freude Denn die Aufgabe ist aus der 10. Mathechallenge im Matheplanet. Und die haben wesentlich länger gebraucht.
Fragen über Fragen Auf diesen Beitrag antworten »

Es war die 1. Aufgabe aus der 8. Challenge und es ist dort üblich, erst nach längerer Zeit (steht dort irgendwo in den Regeln) zu antworten, um anderen nicht den Rätselspaß zu verderben.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin ja auch schon bei der Angabe ausgestiegen:

Zitat:
Aufgabe 46:

Es sei ein Ringhom., mit .

Einerseits sollte es nämlich eine Abbildung sein, anderererseits ist doch das Bild von die i-te Potenz von e=2.718..., also eine reelle Zahl... geschockt

Zur vorige Aufgabe 45 noch: Natürlich habe ich auch sofort erkannt, dass der einzige in Frage kommende Wert ist... Wenn man die Folgenglieder als rationale Funktionen in anschreibt, sieht man, dass auf eine geheimnisvolle Weise die Fibonaccizahlen ins Spiel kommen, und zwar nur die mit ungeradem Index, also 1,3,8,21, usw. ... Ich wollte eigentlich diesen Weg weiter verfolgen, bin aber gescheitert bzw. hatte auch zuwenig Zeit dafür...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, da habe ich aber einen fatalen Schreibfehler gemacht. geschockt Entschuldigung! Gott

@tmo:
Was ist eigentlich mit der nächsten Aufgabe?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Logischerweise kenne ich natürlich die Lösung der (für mich "maßgeschneiderten") Aufgabe 47, räume aber gerne noch eine Frist von einigen Tagen ein, falls sich jemand daran versuchen will... Augenzwinkern
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dass du dich zurückhältst (Inwiefern ist sie denn für dich maßgeschneidert?). Diese Aufgabe ist übrigens völlig elementar lösbar. Wenn einem nichts besseres einfällt, schaut man sich einfach an, wie man die Körperaxiome (insbesondere das, was einen Körper vom komm. Ring mit 1 unterscheidet) für beweist und schaut, was da in schiefgehen kann.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Aus gegebenem Anlass:

Es ist nicht zu zeigen, dass die konstruierte Menge eine abelsche Gruppe und einen kommutativen Ring mit 1 bildet. Das ist sowieso klar. Es ist nur die Körpereigenschaft in Abhängigkeit von zu bestimmen.

Ergo kommt der Post von Monoid der Lösung nicht wirklich näher als ein leerer Post, wie auch schon von jester. erwähnt. Also weiter versuchen Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sollte dieser Beitrag von Monoid (sowie die Antwort darauf) doch in den Diskussionsthread (also hierher) verschoben werden, oder? verwirrt
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Gut, dass du dich zurückhältst (Inwiefern ist sie denn für dich maßgeschneidert?).

Das fragst du?... Big Laugh

Immerhin sollten in der von mir gestellten Aufgabe 28, welche ja auch du dann gelöst hast, alle p-Ringe mit p² Elementen und Charakteristik p klassifiziert werden... Darunter kamen natürlich auch die von dir hier zur Auswahl gestellten 3 Ringe mit Einselement vor... Augenzwinkern
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic:

Willst du die Lösung nicht langsam Posten? verwirrt
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »