Reihe konvergent oder divergent

19.09.2012, 11:43

Steffe2361

Reihe konvergent oder divergent

Hi;

Meine Aufgabe:

Zeigen Sie ob die Reihe divergiert oder Konvergiert:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{k^4}{3^k} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

Ich wäre mit dem Quotientenkriterium ran gegenagen:

$\begin{eqnarray*} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \rightarrow \frac{\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}} }{\frac{k^4}{3^k} } \end{eqnarray*}$

Beim auflösen komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4+4k^3+5k^2+5k+1}{k^4*3} \end{eqnarray*}$

Nun kürze ich noch das $\begin{eqnarray*} k^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4(1+\frac{4}{k}+\frac{5}{k^2}+\frac{5}{k^3} +\frac{1}{k^4} }{k^4*3} \end{eqnarray*}$

Dies ist doch bei $\begin{eqnarray*} k \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ kleiner als 1/3

Also gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4}{3^k} \le 1/3 < 1 \end{eqnarray*}$ und somit konvergent

Habe ich das so richtig verstanden?

Danke euch

19.09.2012, 11:47

Mystic

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Original von Steffe2361

Also gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4}{3^k} \le 1/3 < 1 \end{eqnarray*}$ und somit konvergent

Habe ich das so richtig verstanden?

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{k^4}{3^k} \end{eqnarray*}$ ???

19.09.2012, 11:51

Steffe2361

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} \frac{k^4}{3^k} \end{eqnarray*}$ ???

ist meine Angabe gewesen

19.09.2012, 11:57

Mystic

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Original von Steffe2361
ist meine Angabe gewesen

Jaja, ist mir schon klar, aber es geht doch die ganze Zeit um die Anwendung des Quotientenkriteriums - mit Betonung auf Quotient (!)...

Edit: Würdest duz.B. auch sagen, dass die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ konvergiert, denn es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \frac 1k \le \frac 12 < 1 \quad \forall k\in \{2,3,\ldots\} \end{eqnarray*}$

19.09.2012, 12:00

Steffe2361

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RE: Reihe konvergent oder divergent
achso hoppla sorry, so sollte es richtig heißen

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}} }{\frac{k^4}{3^k} } \le 1/3 < 1 \end{eqnarray*}$

verwirrt

mfg

19.09.2012, 12:11

Mystic

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Original von Steffe2361
achso hoppla sorry, so sollte es richtig heißen

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}} }{\frac{k^4}{3^k} } \le 1/3 < 1 \end{eqnarray*}$

Hm, setz mal ein paar kleine Werte für k ein um diese Abschätzung zu überprüfen...

19.09.2012, 12:16

Steffe2361

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Hm, setzt mal ein paar kleine Werte für k ein um diese Abschätzung zu überprüfen...

Genau darauf wollte ich hinaus. Denn das ganze würde nur Funktionieren wenn ich sehr große Werte für k einsetze.

Da meine Reihe von 1 bis ins unendliche reicht, sollte dies doch passen oder darf man das nicht?

19.09.2012, 13:08

Mork vom Ork

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RE: Reihe konvergent oder divergent
Für alle $\begin{eqnarray*} k\geq 16 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} k^4\leq 2^k. \end{eqnarray*}$

Damit kannst Du per Majorantenkrit. folgern.

19.09.2012, 13:25

Che Netzer

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RE: Reihe konvergent oder divergent
Die Abschätzung mit $\begin{eqnarray*} \leq\tfrac13 \end{eqnarray*}$ gilt NIE:
$\begin{eqnarray*} \frac{\left(\frac{(k+1)^4}{3^{k+1}}\right)}{\left(\frac{k^4}{3^k}\right)}=\frac13\left(\frac{k+1}k\right)^4>\frac13\,. \end{eqnarray*}$

Das Quotientenkriterium hast du falsch angewandt/verstanden. (ist aber schon fast richtig)

@Mork vom Ork: Aber ich schätze, man sollte erst einmal aufzeigen, wo der Fehler in der bisherigen Rechnung liegt, und diese korrigieren.
Und diese Abschätzung zu zeigen dürfte länger dauern als das Quotientenkriterium (oder noch besser das Wurzelkriterium) anzuwenden.

19.09.2012, 13:37

Cel

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@Mork vom Ork, Che Netzer: Warum kommentiert ihr denn so fleißig einen laufenden Thread? Mystic ist online, hilft und hat meiner Ansicht nach den Thread im Griff. Es besteht kein Grund, hier noch mehr Stimmung reinzubringen. Ihr wisst doch: "Viele Köche verderben den Brei."

19.09.2012, 13:55

Mystic

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@Cel

Danke, für den gutgemeinten Beistand, aber ich war nach meiner letzten Wortmeldung tatächlich für einige Zeit nicht online...

Grundsätzlich nahme ich die Sache jetzt nicht so ernst und habe daher auch gar nichts gegen Kommentare von anderer Seite, sofern sie sachlich gerechtfertigt sind... Augenzwinkern

19.09.2012, 14:37

Cel

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24 / 7 kann niemand online sein. Ein bisschen Geduld kann man erwarten, sowohl von den Threaderstellern (hier nicht relevant) als auch von anderen potenziellen Helfern. Alternativlösungen sollten am Ende besprochen werden. Da natürlich gerne, mittendrin verwirrt das m. M. nach ...

19.09.2012, 14:56

steffen2361

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ok ( an euch alle)

somit gilt doch für die reihe für k<4 divergiert sie und für k>=4 konvergiert sie oder

danke ;-)
mfg

19.09.2012, 15:01

Mystic

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Ja, tatsächlich sind wir auch schon fast am Ende, das Quotientenkriterium wurde im Prinzip richtig angewandt und führt auch zum richtigen Ergebnis, nur halt die obere Schranke von 1/3 ist nicht haltbar... Die muss also noch nachgebessert werden und dabei <1 bleiben, was aber nun wirklich kein Problem sein sollte... Augenzwinkern

19.09.2012, 16:56

Mork vom Ork

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RE: Reihe konvergent oder divergent

Zitat:

Original von Che Netzer
Aber ich schätze, man sollte erst einmal aufzeigen, wo der Fehler in der bisherigen Rechnung liegt, und diese korrigieren.

Ja, aber da waren ja schon andere dran und es war im Prinzip bereits alles dazu gesagt.
Vielleicht hätte ich besser ein 'Übrigens:' vorausgeschickt.

Zitat:

Original von Che Netzer
Und diese Abschätzung zu zeigen dürfte länger dauern als das Quotientenkriterium (oder noch besser das Wurzelkriterium) anzuwenden.

Mit einer Trivialinduktion ist das ein knapper Zweizeiler.

Die genannten Kriterien sollten natürlich gekannt und beherrscht werden - keine Frage.
Dennoch schadet es nicht, den Umgang mit naheliegenden Abschätzungen zu üben.
Das ist ja immer mal wieder -auch in anderem Kontext- hilfreich.

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