Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind

19.09.2012, 17:07

toffi

Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind

Hi,

mir fällt kein Ansatz ein um folgende Aufgabe zu lösen:

Bestimmen Sie Polynome $\begin{eqnarray*} p_0 \in P_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1 \in P_1 \end{eqnarray*}$ , die bzgl. dem Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} (p,q) = \int_0^{\infty} p(x) q(x) e^{-x} dx \end{eqnarray*}$ , orthogonal sind.

Danke

19.09.2012, 17:12

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Einen Ansatz erhälst du durch die Darstellung $\begin{eqnarray*} p_0=a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1=b_1\cdot x + a_1 \end{eqnarray*}$
Nun bestimmst du die Koeffizienten so, dass die Orthogonalitätsbedingung erfüllt ist.

19.09.2012, 17:21

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
meinst du mit Orthogonalitätsbedingungen, dass ich hier Gram-schmidt verwenden muss?

19.09.2012, 17:26

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Nein, das meine ich nicht. Wie ist Orthogonalität bzgl. eines Skalarproduktes definiert? Ist dir überhaupt klar, was zu zeigen ist?

19.09.2012, 17:33

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Also laut definiton muss ja gelten: (p,q)=0 (Orthogonalitätsbedingung)

Muss ich um das zu zeigen mit Monomen {1,x,x^2,...} orthogonalisieren?

19.09.2012, 17:39

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Nein, du musst mit den oben gegebenen Funktionen orthogonalisieren:

Zitat:

Einen Ansatz erhälst du durch die Darstellung $\begin{eqnarray*} p_0=a_0\in P_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_1=b_1\cdot x + a_1\in P_1 \end{eqnarray*}$

Sprich, die Koeffizienten so wählen, dass $\begin{eqnarray*} \langle p_0,p_1\rangle=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Das Skalarprodukt ist dabei definiert als
$\begin{eqnarray*} \langle p,q\rangle = \int_0^\infty p(x) q(x) e^{-x} dx \end{eqnarray*}$

Einsetzen und mit 0 gleichsetzen.

20.09.2012, 10:19

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
okay ich berechne mal $\begin{eqnarray*} <p_0 , p_1> \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} <p_0 , p_1> \end{eqnarray*}$ = 0 :

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} a_0 \cdot (b_1 \cdot x +a_1) \cdot e^{-x} dx = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} a_0 b_1 \cdot x e^{-x} + a_0 a_1 e^{-x} dx = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} [-e^{-x}(x+1) a_0 b_1 - a_0 a_1 e^{-x}]_0^{\infty}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a_0 b_1 +a_0a_1 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a_0 (b_1 +a_1) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a_0 = 0 , b_1=a_1 \end{eqnarray*}$

Bin mir sicher dass da noch was fehlt es ist sicher nicht nur ein Rechenschritt...

20.09.2012, 10:31

mYthos

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(Da Math1986 off ist: )

Stimmt fast alles, nur Vorzeichenfehler: b1 = - a1

mY+

EDIT:

Ahh, jetzt ist Math1986 da, und ich bin schon wieder weg! Big Laugh

20.09.2012, 10:41

lgrizu

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Ein kleiner Hinweis, mit dem man sich einiges an Rechenarbeit ersparen kann:

Zitat:

Original von toffi

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} a_0 \cdot (b_1 \cdot x +a_1) \cdot e^{-x} dx = 0 \end{eqnarray*}$

.

An dieser Stelle die linearität des Integrals ausnutzen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} a_0 \cdot (b_1 \cdot x +a_1) \cdot e^{-x} dx=a_0 \cdot \int_0^{\infty} (b_1 \cdot x +a_1) \cdot e^{-x} dx \end{eqnarray*}$

Und nun statt auszumultiplizieren Produktintegration (und wieder Linearität des Integral):

$\begin{eqnarray*} \int (b_1 \cdot x +a_1) \cdot e^{-x} dx=[-(b_1x+a_1)e^{-x}] + b_1 \cdot \int e^{-x} dx \end{eqnarray*}$

20.09.2012, 10:46

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Da schon fast alles gesagt wurde, noch ein Hinweis von mir:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \rightarrow a_0 = 0 , b_1=-a_1 \end{eqnarray*}$

Das ist ein ODER, kein UND.

20.09.2012, 10:51

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Wie würdet ihr die Lösung also hinschreiben? so?

$\begin{eqnarray*} p_0=0 , p_1 =-a_1 \cdot x +a_1 \end{eqnarray*}$

20.09.2012, 10:54

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
du meinst, entweder ich nehm das Polynom $\begin{eqnarray*} p_0=0 \end{eqnarray*}$ oder das Polynom $\begin{eqnarray*} p_1=-a_1x+a_1 \end{eqnarray*}$ ?

20.09.2012, 10:59

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Ich würde es so schreiben:
$\begin{eqnarray*} \rightarrow a_0 = 0 \vee b_1=-a_1 \end{eqnarray*}$
oder anders ausgedrückt:
$\begin{eqnarray*} p_0=0\vee p_1=-a_1\cdot x + a_1 \end{eqnarray*}$
Letzteres ist das was du meintest.

20.09.2012, 11:07

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
alles klar ich danke euch vielmals...

20.09.2012, 11:15

lgrizu

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
Noch ein kleiner Hinweis und eine Frage, deren Antwort zeigt, ob du verstanden hast, was es mit dem von Math angesprochenen "und" und "oder" auf sich hat:

Der Nullvektor steht stets senkrecht zu jedem Vektor, das Ergebnis p=0 ist also ziemlcih trivial und wenig spektakulär.

Jetzt gib einmal eine konkrete nicht-triviale Lösung an.

20.09.2012, 12:55

toffi

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind
aha, also doch nicht so einfach...
Ich sag einfach mal ne nichtriviale Lösung ist $\begin{eqnarray*} p_1=x-1 \end{eqnarray*}$ ...

20.09.2012, 13:07

toffi

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ich finds allgemein verwirrend, dass man scheinbar mit einer gleichung gleich alle drei unbekannte $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,b_1 \end{eqnarray*}$ quasi lösen kann, des kann doch nicht bei jeder aufgabe so gut rauskommen...

20.09.2012, 13:15

Math1986

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RE: Polynome, die bzgl. Skalarprodukt orthogonal sind

Zitat:

Original von toffi
aha, also doch nicht so einfach...
Ich sag einfach mal ne nichtriviale Lösung ist $\begin{eqnarray*} p_1=x-1 \end{eqnarray*}$ ...

Ja, das ist richtig, wobei p_0 beliebig ist.

20.09.2012, 13:16

Math1986

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Zitat:

Original von toffi
ich finds allgemein verwirrend, dass man scheinbar mit einer gleichung gleich alle drei unbekannte $\begin{eqnarray*} a_0,a_1,b_1 \end{eqnarray*}$ quasi lösen kann, des kann doch nicht bei jeder aufgabe so gut rauskommen...

Es kommt nicht bei jeder Aufgabe ein solches Ergebnis heraus, die Vorgehensweise ist aber die selbe.

20.09.2012, 13:27

HAL 9000

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Da das Stichwort oben gefallen ist, man hätte hier natürlich auch mit Gram-Schmidt herangehen können:

Dazu startet man z.B. mit den Polynomen $\begin{eqnarray*} q_0=1,q_1=x \end{eqnarray*}$ , und dann sehen die ersten zwei Gram-Schmidt-Schritte so aus:

$\begin{eqnarray*} p_0 = q_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1 = q_1 - \frac{\langle p_0,q_1\rangle}{\langle p_0,p_0\rangle} p_0 \end{eqnarray*}$ .

Ist aber vom Rechenaufwand ganz genau dasselbe.

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