Tipp zum Beweis Dreiecksungleichung

19.09.2012, 17:43

Christian_P

Tipp zum Beweis Dreiecksungleichung

Hallo liebe Mathefreunde!

Ich möchte folgendes beweisen:

aus

$\begin{eqnarray*} \left(M\subset \mathbb{R}\quad \text{ ist beschränkt }\right) \Leftrightarrow \left( \exists r\in\mathbb{R}\; r>0 : \forall x\in M \left( \left| x \right| \leq r \right) \right) \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb{R} \left( \left|a+b\right| \leq \left|a\right|+\left|b\right|\right) \end{eqnarray*}$

Nun habe ich keinen guten Ansatz. Wie folgt aus der Beschränktheit einer Menge bzw. der Definition der Beschränktheit die Dreiecksungleichnung? Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?

Viele Grüße,
Christian

19.09.2012, 18:05

Math1986

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RE: Tipp zum Beweis Dreiecksungleichung
Die Aussage verstehe ich nicht:
$\begin{eqnarray*} \forall a,b\in\mathbb{R} \left( \left|a+b\right| \leq \left|a\right|+\left|b\right|\right) \end{eqnarray*}$
Das hat doch nichts mit der zuvor definierten Menge M zu tun.

Die Dreiecksungleichung ist in obiger Form richtig, und folgt somit auch für jede Teilmenge. Die Beschränktheit wird in dem Beweis nirgendwo verwendet.

Zum Beweis der Dreiecksungleichung mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von a und b.

19.09.2012, 18:05

weisbrot

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RE: Tipp zum Beweis Dreiecksungleichung
ist die aufgabe aus irgendeiner übung oder so?
diese macht für mich wenig sinn, bzw. so wie sie dasteht ist sie falsch. sollte vielleicht die zu folgernde aussage auch von M handeln?
oder ganz anders und du willst das aus der obigen äquivalenz folgern, wobei |.| irgendeine variable funktion ist?

verwirrt

lg

edit: @math: arghh, ständig kommst du mir zuvor Big Laugh

19.09.2012, 18:12

Christian_P

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Hallo danke für die Antworten!

Ja, so richtig Sinn habe ich darin auch nicht gesehen!

Wortlaut der Aufgabe: Beweise die Dreiecksungleichung des Betrages unmittelbar aus Satz 10.4. (Satz 10.4 ist die obige Definition, also ganz allgemein)

Dann gabs noch folgende Hinweise, die ich nicht ganz einordnen konnte:

$\begin{eqnarray*} a,-a\leq|a| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a,-a\leq b \Rightarrow |a|\leq b \end{eqnarray*}$

Vielleicht kann man sich beschränkte Mengen basteln und kommt dann auf die Ungleichung. verwirrt

Grüße,
Christian

19.09.2012, 18:16

Math1986

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Wie gesagt, der Ansatz wäre:
Zum Beweis der Dreiecksungleichung mache eine Fallunterscheidung nach den Vorzeichen von a und b.

Nimm also zB mal a>0 und b>0 und zeig die Behauptung.

19.09.2012, 18:18

Christian_P

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Sorry ihr hattet recht!!! Alles zurück!! Ich habe was falsch aufgefasst. Der Satz 10.4 ist etwas anderes! Es ist kein Satz...

19.09.2012, 18:21

Christian_P

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10.4 ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} |a|=a \text{ wenn } a\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a|=-a \text{ wenn } a< 0 \end{eqnarray*}$

19.09.2012, 18:23

weisbrot

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haha, wär ja auch etwas ungewöhnlich - ne definition als satz. na dann weißte ja jetz was zu tun ist. lg

19.09.2012, 18:41

Math1986

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Zitat:

Original von weisbrot
haha, wär ja auch etwas ungewöhnlich - ne definition als satz.

Der "Satz", den er aufgeschrieben hat, ist doch auch eine Definition verwirrt

Zitat:

:

$\begin{eqnarray*} |a|=a \text{ wenn } a\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a|=-a \text{ wenn } a< 0 \end{eqnarray*}$

Ich stimme aber mit dir überein, dass es irgendwie unschön ist, Definitionen als Sätze zu bezeichnen.

19.09.2012, 18:50

weisbrot

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@math1986: ich meine 'mathematischer satz' ->

Zitat:

Zitat Christian_P:
Satz 10.4 ist die obige Definition

oder versteh ich dich falsch?

19.09.2012, 18:55

Christian_P

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Äquivalenzen sind häufig Definitionen(?), deswegen, schrieb ich Definition, aber es ist, glaube ich, ein Satz. smile

ich habe Probleme beim Fall:

o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a>b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a\geq 0 \; \wedge\; b<0 \quad \Leftrightarrow \quad |a|=a \; \wedge\; |b|=-b \quad \Leftrightarrow \quad |a|+|b|=a-b \end{eqnarray*}$

Wenn es soweit sinnvoll und richtig ist, wie könnte man weiter machen?

Grüße

19.09.2012, 19:43

weisbrot

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Zitat:

Äquivalenzen sind häufig Definitionen(?), deswegen, schrieb ich Definition, aber es ist, glaube ich, ein Satz. smile

also für mich ist ein satz eine aussage, die eines beweises bedarf. also hattet ihr vorher beschränktheit schon definiert, z.b. dass M in einer offenen kugel liegt?

naja zurück zum thema:
mach vielleicht erst fallunterscheidung für (a+b), und dann darauf aufbauend für a, b einzeln (ich glaube dann hast du die wenigsten fälle); und dann geht es etwa so wie du schon angefangen hast.

lg

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