Holomorphe Fortsetzung

19.09.2012, 18:39

mathinitus

Holomorphe Fortsetzung

Hallo Leute,

sei D eine zusammenhängende und offene Teilmenge von C und f:D->C eine holomorphe Funktion. Sei weiter z ein Randpunkt von D, so dass sich f stetig auf $\begin{eqnarray*} D':=D\cup \{z\} \end{eqnarray*}$ fortsetzen lässt. Gibt es dann eine offene Teilmenge O von C mit $\begin{eqnarray*} D'\subset O \end{eqnarray*}$ und eine holomorphe Funktion g:O->C, deren Einschränkung auf D f entspricht?

Danke!

19.09.2012, 19:23

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

In dieser Allgemeinheit kann das nicht gelten. Betrachte zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(z) = \exp(z^{-1}) \end{eqnarray*}$ auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} \{z = x+iy \in \mathbb C \mid x> 0, \; \left|\frac{y}{z^2}\right| < x\} \end{eqnarray*}$ . Dann ist f stetig in z=0, aber dort besitzt die analytische Fortsetzung der Funktion auf jede punktierte Umgebung gar eine wesentliche Singularität!

Vielleicht kann man jedoch gewisse positive Resultate erzielen, wenn man stärkere Glattheitsanforderungen (z.B. Lipschitz oder C^1) an den Rand des Gebiets stellt, um diese Art von "radialen/eind-dimensionalen Limiten" zu verhindern. Darüber weiss ich jedoch gerade auch nichts. Die Frage nach Regularität holomorpher Funktionen am Rand scheint mir eine recht heikle Angelegenheit zu sein. In Rudin's "Real and Complex Analysis" findet sich womöglich in den späteren Kapiteln etwas dazu.

19.09.2012, 23:22

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort. Auf so ein Gegenbeispiel hätte ich eigentlich auch selbst kommen müssen, aber ich hatte nicht mit einem Gegenbeispiel gerechnet Augenzwinkern

Bin auf diese Fragen gestoßen, als ich einen Beweis zum Satz vom Landau las. Der Satz besagt, dass für
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} \end{eqnarray*}$
für reelle $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\ge 0 \end{eqnarray*}$ die durch
$\begin{eqnarray*} f(s):=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} \end{eqnarray*}$
rechts von der Konvergenzabszisse $\begin{eqnarray*} \sigma_0 \end{eqnarray*}$ definierte Funktion an der Stelle $\begin{eqnarray*} s=\sigma_0 \end{eqnarray*}$ eine Singularität hat.

Man weiß vorher natürlich schon, dass f in der Halbebene, in der f definiert ist, holomorph ist.

Der Beweis läuft derart: Nehmen wir an, f habe an der Stelle $\begin{eqnarray*} s=\sigma_0 \end{eqnarray*}$ keine Singularität, dann könnte man f in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} s=\sigma_0 \end{eqnarray*}$ holomorph fortsetzen. Das führt man dann zum Widerspruch.

Da fragte ich mich: Wieso folgt aus "keine Singularität" gleich "holomorph"? Woran liegt das in diesem ganz speziellen Zusammenhang?

20.09.2012, 18:34

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ja das ist dann natürlich eine sehr spezialisierte Version der ursprünglichen Frage.

Also ich denke mir mal, dass die absolute Konvergenz der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum a_n n^{-\sigma_0} \end{eqnarray*}$
benutzt werden kann, um zu zeigen, dass dann für kleines $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ auch
$\begin{eqnarray*} \sum a_n n^{-\sigma_0+\epsilon} \end{eqnarray*}$
noch konvergiert... Man sieht z.B. mittels Maßtheorie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{s\downarrow \sigma_0} f(s) = \sum a_nn^{-\sigma_0} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Dazu kann man den Satz von Beppo-Levi (Monotone Konvergenz) hier mit dem Zählmaß anwenden.

Allerdings sehe ich gerade auch nicht, wie genau man das hinkriegt (und womöglich stimmt das ja auch gar nicht!). Vielleicht könnte man mal etwas in Richtung abelscher Summation versuchen?

21.09.2012, 21:54

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo mathinitus,

Ich jetzt gerade noch einmal kurz über diese Aufgabe überlegt. Also das hier

Zitat:

Also ich denke mir mal, dass die absolute Konvergenz der Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum a_n n^{-\sigma_0} \end{eqnarray*}$
benutzt werden kann, um zu zeigen, dass dann für kleines $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ auch
$\begin{eqnarray*} \sum a_n n^{-\sigma_0+\epsilon} \end{eqnarray*}$
noch konvergiert...

stimmt schonmal nicht. Es ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} a_n \ge 0, \; \sum_n a_n< \infty\implies \exists \epsilon > 0 \text{ so dass } \sum_n a_nn^\epsilon < \infty \end{eqnarray*}$ . Doch nun betrachte
$\begin{eqnarray*} a_n = \begin{cases} 2^{-k} & n = 2^{k^2} \\ 0 & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} \sum_n a_n = \sum_k 2^{-k} < \infty \end{eqnarray*}$ , aber
$\begin{eqnarray*} \limsup_n a_nn^\epsilon = \limsup_k 2^{-k} 2^{\epsilon k^2} = \infty\quad \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
insbesondere konvergiert die Reihe nicht.

Kommt die Aussage denn aus einer vertrauenswürdigen Quelle?

Neue Frage »

Antworten »

Holomorphe Fortsetzung

Verwandte Themen