Geradengleichungen mit 4 Variablen

19.09.2012, 20:06	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Geradengleichungen mit 4 Variablen Ich seh bei der folgenden Aufgabe keinen Lösungsweg: Geben Sie Werte für die Variablen a, b, c, d an, sodass die Geraden $\begin{eqnarray} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} -5 \\ 7 \\ a \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} b \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ c \\ 3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ a) identisch sind. b) sich schneiden. Ich komm schon bei a) nicht weiter. Das Gleichungssystem, dass sich bei mir ergibt ist dann: $\begin{eqnarray} -5+rb=1-3s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7-6r=c+3s \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a+2r=3+sd \end{eqnarray}$ Ich hab also ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 6 verschiedenen Variablen. Kann jemand helfen? Vielleicht einen Tipp geben wie ich das löse (was muss ich in Abhängigkeit von was darstellen).
19.09.2012, 20:12	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Geradengleichungen mit 4 Variablen zu a) beginne mit $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} b \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} =s\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ d \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit wird alles viel einfacher, warum
19.09.2012, 20:14	Yu	Auf diesen Beitrag antworten »
Oooh Nein bin ich doof stimmt ... erstmal müssen die Richtungsvektoren übereinstimmen. Okay danke Aber wie funktioniert das dann bei b) ? Da kann ich ja nicht über die Richtungsvektoren gehen, da sie sich ja schneiden sollen :/
19.09.2012, 20:42	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
bei b) sehe ich auch keinen sinn. ich vermute, man soll IRGENDWELCHE werte für a, b, c und d angeben, sodass .... wenn ich mich nicht vertan habe, bekommt man z.b. für a = 4, b = c = 0 und damit $\begin{eqnarray} d=\frac{2}{3} \end{eqnarray}$ einen schnittpunkt für mich eine ... aufgabe
19.09.2012, 21:26	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben, sind die beiden Richtungsvektoren mit dem Differenzvektor der beiden Stützpunkte linear abhängig. Da in diesem Fall die aus ihren Komponenten gebildete 3-reihige Determinante gleich 0 sein muss, kann daraus eine Bedingung für die 4 Variablen a, b, c, d abgeleitet werden: $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 7bd - bcd - 3ab + 9b - 36d + 18a - 6c - 48 = 0 \end{eqnarray}$ Mit a = 4, b = c = 0 ist auch tatsächlich d = 2/3. Natürlich sind auch viele andere beliebige Zahlenwerte möglich (drei können vorgegeben werden, der 4. ergibt sich dann daraus), sie müssen also nur allesamt die o.a. Bedingung einhalten. mY+
19.09.2012, 21:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
darum auch: ... und DAMIT d = ... aber sehr viel sinnvolles sehe ich noch immer nicht
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19.09.2012, 22:13	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, du hast doch wenigstens die allgemeine Bedingung, die diese 4 Variablen erfüllen müssen, damit die beiden Geraden einen Schnittpunkt haben. Mehr wollen wir in die Aufgabe auch nicht hineinlegen. Vielleicht war auch nur die Kreativität des Aufgabenlösers in dieser Form gefragt. mY+

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