unbestimmtes Integral

03.02.2007, 18:59	djzottel	Auf diesen Beitrag antworten »
unbestimmtes Integral Tach @ all, sind uns gerade bei einem unbestimmten Integral nicht so ganz sicher. $\begin{eqnarray} \int_{}^{}~\frac{\sqrt{x+1}}{x}~dx (x<0) \end{eqnarray}$ Haben schon $\begin{eqnarray} \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ Substituiert, wobei wir dann: $\begin{eqnarray} -2arctan(\sqrt{x+1})+ \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ als Lösung heraus bekommen haben. Mein Rechner sagt mir jedoch was von $\begin{eqnarray} 2ln\mid \sqrt{x+1} -1 \mid + 2 \sqrt{x+1} - ln \mid x\mid \end{eqnarray}$ {ist hoffentlich nicht das gleiche } Beim anschließenden Versuch per partieller Integration fiel am Ende alles weg und wir hatten nur noch $\begin{eqnarray} - \frac{1}{3} * 0 \end{eqnarray*}$ Vielen Dank für eure Hlife Sandy und Tobi
03.02.2007, 20:12	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
puhh das war jetzt eine schwere geburt. Ich substituiere auch wie du $\begin{eqnarray} z = \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$ und komme am Ende allerdings auf $\begin{eqnarray} 2\sqrt{x+1}+ln(\sqrt{x+1}-1)-ln(\sqrt{x+1}+1) \end{eqnarray}$ Edit: das scheint zu stimmen. Habs mal abgeleitet und es kommt das richtige raus. Edit 2: Ich habe unter anderem eine PBZ "unterwegs" gemacht.
03.02.2007, 23:29	djzottel	Auf diesen Beitrag antworten »
Shit, dann hab ich also nun 3 Ergebnisse zur Auswahl. Leider stimmt keines mit dem meines Rechners überein. Kannst Du evtl. noch nen paar Details zu Deinem Rechenweg verraten? Kann bei solch einem süßen Integral doch nicht so schwer sein sich auf eine Lösung zu einigen! Hab gerade auch noch mal versucht die einzelnen Ergebnisse aufzuleiten (per Rechner), jedoch ohne genau den Ausgangsterm zu erhalten. :-( mfg Tobi
03.02.2007, 23:45	sqrt4	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf welchen wert für dx kommst du bei der Integration mit Substitution. (man muss doch dx durch einen Term in dem dz vorkommt ersetzen) Edit: Wenn ich alles substituiert habe steht bei mir da $\begin{eqnarray} 2\int \frac{z^2}{z^2-1}dz= \end{eqnarray}$ Da addiere ich 0 $\begin{eqnarray} =2\int \frac{z^2-1+1}{z^2-1}dz= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2\int (1 +\frac{1}{z^2-1})dz= \end{eqnarray}$ Dann gibt es die sogenannte Partialbruchzerlegung kurz: PBZ $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1})=\frac{1}{z^2-1} \end{eqnarray}$ Das ergibt: $\begin{eqnarray} =\int (2 +\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}dz= \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =2z+ln\|z-1\|-ln\|z+1\| \end{eqnarray}$ Dann noch rücksubstiuieren. $\begin{eqnarray} z= \sqrt{x+1} \end{eqnarray}$
04.02.2007, 13:11	djzottel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, genauso hatten wir das auch schon. Echt seltsam... Danke dennoch für die schnelle Hilfe. lg Sandy und Tobi
04.02.2007, 14:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo ist das Problem? $\begin{eqnarray} \ln{\left\| 1 - \sqrt{x+1} \right\|} - \ln{\left\| 1 + \sqrt{x+1} \right\|} = \ln{\left\| \frac{1 - \sqrt{x+1}}{1 + \sqrt{x+1}} \right\|} = \ln{\left\| \frac{\left( 1 - \sqrt{x+1} \right)^2}{\left( 1 + \sqrt{x+1} \right) \left( 1 - \sqrt{x+1} \right)} \right\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \ln{\left\| \frac{\left( 1 - \sqrt{x+1} \right)^2}{-x} \right\|} = 2 \ln{\left\| 1 - \sqrt{x+1} \right\|} - \ln{\left\| x \right\|} \end{eqnarray}$ Übrigens: Betragsstriche nicht vergessen.
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