Differentialquotienten

20.09.2012, 02:16

Tipso

Differentialquotienten

Hallo,

Ich verstehe die Formel einfach nicht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} x = \frac{f\left(x_0 + x{delta}\right) + f\left(x_0\right) }{x_{delta}} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe die Herleitung von $\begin{eqnarray*} f\left(x_0 + x_{delta}\right)+ f\left(x_0\right) \end{eqnarray*}$ nicht.

Welche $\begin{eqnarray*} y_delta \end{eqnarray*}$ darstellt.

Ich hoffe dies geht alles auch ohne Skizze.

lg

20.09.2012, 04:08

Kasen75

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Hallo,

mit dieser Formel kannst an einem bestimmten Punkt ( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ) die Steigung einer Funktion bestimmen.

Du kennst doch sicher die Steigungsformel einer linearen Funktion:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2} \end{eqnarray*}$

oder verkürzt:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2} \end{eqnarray*}$

Nichts anderes macht deine Formel. Nur, dass sich nicht nur für lineare Funktionen gilt.

Ich schreib sie nochmal hin.

$\begin{eqnarray*} \textrm{Steigung im Punkt $x_0$}=\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{(x_0 + \Delta x)-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \Delta x \to 0 \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt warum nimmt man nicht einfach 2 Punkte, wie bei der linearen Steigungsformel. Das liegt daran, dass sich bei nicht-linearen Funktionen die Steigungen von Punkt zu Punkt ändern. Deswegen betrachtet man hier einen Punkt und und den gleichen Punkt, nur mit einer minimalen Abweichung von $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ . Mit dieser Grenzbetrachtung kann man dann auch von nicht-linearen Funktionen die Steigung bestimmen.

Ein konkretes Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

Bestimmung der Steigung am Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

Einsetzten in die Formel:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x_0+\Delta x)^2-(x_0)^2}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} =\frac{(x_0)^2+2\cdot x_0 \cdot \Delta x+{\Delta x}^2-(x_0)^2}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Zähler: Die zwei $\begin{eqnarray*} (x_0)^2 \end{eqnarray*}$ heben sich wegen gegenteiliger Vorzeichen auf. Bei dem Term der verbleibt, kann man $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ ausklammern.

$\begin{eqnarray*} =\frac{\Delta x (2\cdot x_0 +{\Delta x}) }{\Delta x} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man den Bruch mit $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ kürzen. Der Nenner wird 1 und kann somit weggelassen werden:

$\begin{eqnarray*} =2\cdot x_0 +\Delta x \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht, kann man hier $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ vernachlässigen.

$\begin{eqnarray*} 2\cdot x_0 \end{eqnarray*}$

Somit ist die Steigung der Funktion $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} 2 \cdot x_0 \end{eqnarray*}$ .

Ist z.B. $\begin{eqnarray*} x_0=5 \end{eqnarray*}$ , dann ist die Steigung gleich 10 im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe es ist auch ohne Skizze einigermaßen klar geworden. Wenn in deiner Skizze eine Tangente eingezeichnet ist, dann ist das nur zur Verdeutlichung der Steigung der Funktion im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$

Mit freundlichen Grüßen.

20.09.2012, 17:53

Tipso

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Danke für deine Mühe.

Ich kann mir meine Frage leider dennoch nicht beantworten.

Mein y beschreibt doch auch einen Punkt?
Welchen?
Warum diesen?

lg

20.09.2012, 18:11

Kasen75

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Da war deine Frage nicht so klar.

$\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ ergibt sich, wenn man $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f(x_0+\Delta x) \end{eqnarray*}$ abzieht. Es ist also kein Punkt, sondern die sehr, sehr kleine Differenz zwischen den y-Werten von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0+ \Delta x \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, ich habe deine Frage richtig verstanden.

20.09.2012, 21:56

Tipso

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Du hast meine Frage richtig verstanden.

Ich verstehe aber nicht warum dies so ist?
Ich vermute mir fehlen Basic-Verständnis.

lg

21.09.2012, 07:28

Kasen75

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Hallo,

wenn du in eine Funktion zwei verschiedene x-Werte einsetzt, dann kommen auch in der Regel zwei verschiedene y-Werte heraus. Die Differenz der y-Werte ist dann $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$
Bleiben wir mal bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

Setzt man für x den Wert 1 ein, kommt als Funktionswert 1 heraus. Setzt man dagegen y=2 ein, kommt als Funktionswert 4 heraus. Somit ist $\begin{eqnarray*} \Delta x = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Delta y = 3 \end{eqnarray*}$ .
Somit ist klar was $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt ist es aber so, dass bei der Formel für die Herleitung der Steigung $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ sehr sehr klein ist. Es geht ja gegen 0. Somit ist aber auch $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ sehr sehr klein. Dennoch sind sie beide existent und das $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ ergibt sich eben aus der Existenz von $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ . Gäbe es kein $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ , dann gäbe es auch kein $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe du bist nur noch $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ weit vom Verständnis des Ausdrucks $\begin{eqnarray*} \Delta y \end{eqnarray*}$ entfernt. smile

Mit freundlichen Grüßen.

21.09.2012, 11:03

Tipso

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Hi,

du hast es sehr gut erklärt.

x_0 ist doch ein beliebiger Punkt also ist die Funktion auch ein beliebiger Punkt?

Wir ziehen x_delta von y_delta ab und erhalten = y_delta mit 2? LOL Hammer

21.09.2012, 11:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tipso
x_0 ist doch ein beliebiger Punkt also ist die Funktion auch ein beliebiger Punkt?

Nein. Weder x_0 noch die Funktion ist ein beliebiger Punkt. x_0 ist erstmal eine beliebige, aber dann für die weitere Betrachtung feste Stelle auf der x-Achse. Zu dieser x-Stelle gibt es einen Funktionswert (nicht Punkt) f(x_0) . Erst beides zusammen ergeben die Koordinaten eines Punktes auf dem Funktionsgraphen.

Zitat:

Original von Tipso
Wir ziehen x_delta von y_delta ab und erhalten = y_delta mit 2? LOL Hammer

Nee. Das ganze nochmal mit meinen Worten:

Du bist an der Stelle x_0 und gehst ein Stückchen weiter zu der Stelle x_1. Die Differenz zwischen x_1 und x_0 nennen wir $\begin{eqnarray*} \Delta x \end{eqnarray*}$ und mithin ist $\begin{eqnarray*} \Delta x = x_1 - x_0 \end{eqnarray*}$ . Die Steigung m der Geraden zwischen den Punkten (x_0, f(x_0)) und (x_1, f(x_1)) ist:

$\begin{eqnarray*} m = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 14:42

Tipso

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Hi,

Was ist dabei der Unterschied von einem Punkt und von einer Funktion?

Wo ist x_0, x_1 und warum kommen die sowohl bei der Beschreibung von y_delta(also diese Strecke zwischen x_0 - x_1) als auch von der Beschreibung von x_delta...?

Demnach müssten diese beiden Funktionen immer eine Ähnlichkeit haben?
Warum?

lg

22.09.2012, 17:57

Tipso

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Eine meiner weiteren Fragen ist, warum die Trigonometrie Formel die Steigung angibt. Wenn wir diese in der Trigonometrie anwenden um eine dritte Seite auszurechnen?

lg

10.11.2012, 18:53

Tipso

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kann mir jemand diese Fragen beantworten.

lg

12.11.2012, 08:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tipso
Was ist dabei der Unterschied von einem Punkt und von einer Funktion?

Eine Funktion ordnet jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich einen Funktionswert f(x) zu. Jedes Paar (x, f(x)) kann man als Punkt im Koordinatensystem darstellen. Die Menge aller Paare (x, f(x)) bilden den Funktionsgraph.

Zitat:

Original von Tipso
Wo ist x_0, x_1 und warum kommen die sowohl bei der Beschreibung von y_delta(also diese Strecke zwischen x_0 - x_1) als auch von der Beschreibung von x_delta...?

y_delta ist die Strecke zwischen f(x_0) und f(x_1) . Alles weitere entnimmst du bitte dem Beitrag von Kasen75 oder du schaust hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Differentia...Einf.C3.BChrung

Wenn du eine konkrete Frage dazu hast, dann zitiere bitte genau diese Stelle, damit man überhaupt weiß, worauf sich deine Frage bezieht.

12.11.2012, 16:25

Tipso

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Alles klar, thx.

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