Integral

20.09.2012, 08:17	nix	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \ f:[1,\infty )->\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig und es gelte $\begin{eqnarray} sup_{x\geq 1}x^2\| f(x) \|<\infty \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! f(x) \, dx \end{eqnarray}$ existiert und dass gilt $\begin{eqnarray} \int_1^\infty \! f(x) \, dx =\int_0^1 \! \frac{1}{t} f(\frac{1}{t} ) \, dt \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Das ist eine alte Klausuraufgabe. Die Existenz habe ich damals mit dem Majorantenkriterium versucht zu zeigen, komme aber jetzt nicht mehr wirklich weiter. Bietet es sich hier an mit dem Majorantenkriterium zu arbeiten? Unabhängig von der Existenz des Integrals, weiß ich nicht, wie man den zweiten Teil lösen kann.
20.09.2012, 09:26	SinaniS	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Majorantenkriterium ist hier sicherlich eine gute Wahl. Da das Supremum endlich ist, kann man den Betrag von f abschätzen durch $\begin{eqnarray} \|f (x)\| \leq \frac{C}{x^2} \end{eqnarray}$ für eine Konstante C. Dann ist es auch einfach zu zeigen, dass das gegebene uneigentliche Integral existiert. Bei dem Integral: Bist du sicher, dass rechts vor dem f 1/t und nicht 1/(t^2) steht? Dann wäre nämlich nach Substitutionsregel $\begin{eqnarray} \int _0 ^1 \frac{1}{t^2}f(t) dt= - \lim _{\substack{s\rightarrow 0 \\ s>0}} \int _s ^1 - \frac{1}{t^2}f(t) dt<br /> = - \lim _{\substack{s \rightarrow 0 \\ s>0}} \int _{\frac{1}{s}} ^{\frac{1}{1}} f(x) \dx =\lim _{\substack{s\rightarrow 0 \\ s>0 }} \int _1 ^ \frac{1}{s} f(x) \dx= \int _1 ^\infty f(x) \dx<br /> \end{eqnarray}$

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