Geometrie - Volumenberechnung durch Integration |
| 20.09.2012, 10:36 | Eos_90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Geometrie - Volumenberechnung durch Integration Hallo Forumsmitglieder, ich bin seit kurzem in der 13. Klasse und bin schon an ein Problem gestoßen. Der Lehrer hat uns folgende Aufgabe gegeben und ich weiß nicht, wie ich diese lösen soll. Ich kann mit das Raumverhältnis noch nicht vorstellen. Hier einmal die Aufgabe: Bestimmen Sie das Volumen des Körpers, der vom Graph f(x,y)=x*y, dem Dreieck mit den Ecken (0;0;0), (1;0;0), (0;1;0) und der Ebene x+y=1 begrenzt wird. Das ist die Aufgabe und ich weiß nicht, wie ich da rangehen soll. Ich danke jetzt schon für eure Hilfe. Gruß Eos Meine Ideen: Ich denke, dass das Problem oben geschildert ist. Aber ich hätte so angefangen: Ich habe in einem kartesischen Koordinatensystem das Dreieck eingezeichnet. Dann f(x,y)=x*y in Gedanken dazu, da ich nicht weiß, wie ich anfangen soll, dies einzuzeichnen. Was mir dann Probleme macht ist die Ebene x+y=1. Ist die unendlich? Also kann die nicht überall im Koo sein? Und das wichtigste, wie setze ich an, eine Formel aus dem Gewirr herzuleiten? Oh man, ich weiß, es sind viele Fragen, aber bitte helft mir. |
||||||||
| 20.09.2012, 11:51 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Um ehrlich zu sein weiss ich nicht was die Ebene in der Angabe nützen soll.... Meiner Meinung nach sollst du das Volumen des Körpers ausrechnen der über dem angegebenen Dreieck vom Graph der Funktion begrenzt wird [dafür braucht man aber die Angabe der Ebene nicht]. Lass dir mal den Graph von plotten [zb bei Wolfram Alpha], dann siehst du es besser. Was die Ebene angeht: natürlich passt die in kein Koordinatensystem, sie ist unendlich weit ausgedehnt, aber das ist der Graph von natürlich auch. Die Ebene besteht aus allen Punkten im Raum, welche die Gleichung erfüllen. Wie du siehst, gibt es keine Bedingung an die z-Koordinate, das heisst die Ebene "steht senkrecht" auf der x-y-Ebene. Und schaust du ein wenig weiter dann siehst du, dass die eine "Querseite" des Dreiecks ebenfalls in der Ebene liegt. Zur Aufgabe: Was müsstest du denn nun ausrechnen? Was für ein Integral? |
||||||||
| 20.09.2012, 13:37 | Eos_90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Gute Frage Also erstmal ein großes Dankeschön für die rasche und ausführliche Antwort. Die Aufgabe besteht darin, dass eine Formel aufgestellt werden muss, welche genau diese Problemstellung beinhaltet. Ich hab mir die Dimension mal angesehen von f(x;y)=x*y, aber ich werde nicht schlau draus, was ich da integrieren muss, um auf die Lösung zu kommen. Mein Lehrer meint bestimmt, dass es eine Formel sein soll, die sich eben verändert, sobald man andere Werte einsetzt, z.B. x=1 und y=4, oder so. Aber ich steig nicht dahinter, wie ich da rangehen soll. Ich denke mir, dass f(x;y)=x*y integriert werden soll, aber gleichzeitig, das Dreieck beachtet wird. Wie du schon sagtest, die z-Achse wird eigentlich nicht gebraucht, aber ist z = f(x;y)? Ich denke, dass der Lehrer ein Doppelintegral meint. Aber wie? Oh man. Ich liebe Mathe, aber bis es einmal klappt, wahnsinn! Gruß Eos |
||||||||
| 20.09.2012, 17:26 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Gute Frage OK, dann erstmal noch ein bischen allgemeines. Du kennst schon Funktionen die von einer Variablen abhängen, zum Beispiel . Solche Funktionen kannst du zeichnen, indem du ein zweidimensionales Koordinatensystem nimmst und die eine Achse enthält die Definitionswerte und die andere die Funktionswerte [ersteres dann die x-Achse, zweiteres die y-Achse]. Eine solche Funktion kannst du zum Beispiel über ein Intervall integrieren. Das heisst du wählt ein "Stück" vom Definitionsbereich über den du das Integral bilden willst. Das Integral gibt dir dann mehr oder weniger die Fläche die der Funktionsgraph mit der x-Achse einschliesst. In deinem Fall hängt die Funktion von 2 Variablen ab, das heisst der Definitionsbereich ist jetzt nicht mehr eine Gerade [wie zuvor], sondern eine Ebene, genannt die x-y-Ebene. Zeichnen kannst du den Funktionsgraphen indem du noch eine dritte Achse nimmst, die z-Achse, und dort die Funktionswerte aufträgst. Was du dann kriegst ist eine "Landschaft" oberhalb der x-y-Ebene [siehe Wolfram Alpha für ein Bild]. Um zu integrieren musst du nun ein Stück vom Definitionsbereich auswählen [der die x-y-Ebene ist], also zum Beispiel dein Dreieck. Das führt tatsächlich auf ein Doppelintegral und dieses Integral liefert dir mehr oder weniger das Volumen von dem Körper, der als "Unterseite" dein Dreieck hat und als "Deckel" den Funktionsgraphen, also die Landschaft über der x-y-Ebene. Wenn das vorgegebene Dreieck ist, dann musst du das Integral von über das Dreieck ausrechnen, manchmal notiert als [vielleicht habt ihr das auch irgendwie anders aufgeschrieben].
Das wäre dann das oben genannte Integral, was letztlich einfach nur eine Zahl ist.
Aus dem Satz werde ich auch nicht schlau. Welche Dimension? Von was?
Da gibts nirgends etwas einzusetzen. |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
| Die Neuesten » |
|
