Stochastik Bernoulli-Versuch

20.09.2012, 13:15

KnowledgeStochastik

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Stochastik Bernoulli-Versuch

Meine Frage:
Hallo,

ich habe eine Aufgabe zu lösen.

Es gibt 8 Festplatten in einem RAID System + eine zur Sicherung.

Auf jeder Platte wird ein Bit gespeichert und auf der neunten das entsprechende Byte.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Festplatte in einem Jahr ausfällt ist mit 0,1359 gegeben und die das eine nicht ausfällt mit 0,8641.

Jetzt muss ich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass in einem Jahr 2,3,4,5,6,7,8 Festplatten ausfallen.

Meine Ideen:
Ich habe erkannt, dass es ein Bernoulli-Versuch ist.
Es sind meiner Meinung nach 365 Versuche also n = 365.
Weiter komme ich nicht.
Ich weiß nicht mal wie man die p= 0,8641 berechnet.

20.09.2012, 13:32

Mazze

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Zitat:

Ich habe erkannt, dass es ein Bernoulli-Versuch ist.

Naja, ein Bernoullieversuch wäre es, würde man nur eine Platte pro Jahr betrachtenn

Zitat:

Es sind meiner Meinung nach 365 Versuche also n = 365.

Wenn X die Anzahl der pro Jahr ausfallenden Platten ist wollen wir

$\begin{eqnarray*} P(X = n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \{2,3,4,5,6,7,8\} \end{eqnarray*}$

wobei die Ausfallwahrscheinlichkeit p gegeben ist. Das stinkt schon förmlich nach einer bestimmten Verteilung Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Ich weiß nicht mal wie man die p= 0,8641 berechnet.

Der Wert ist doch gegeben.

20.09.2012, 13:41

KnowledgeStochastik

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Der Wert ist doch gegeben.

Ja ich weiß, aber wenn ich nicht weiß wie man die Wahrscheinlichkeit für eine Platte berechnet, dann schon gar nicht für mehrere. Big Laugh

Big Laugh

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Das stinkt schon förmlich nach einer bestimmten Verteilung.

Hmm Ok, dann werde ich mal im Internet schauen, was eine bestimmte Verteilung ist.

20.09.2012, 13:43

Mazze

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Zitat:

Ja ich weiß, aber wenn ich nicht weiß wie man die Wahrscheinlichkeit für eine Platte berechnet, dann schon gar nicht für mehrere. Big Laugh

So wie ich die Aufgabe verstehe ist die Ausfallwahrscheinlichkeit p = 0.1359 gegeben.

20.09.2012, 13:46

KnowledgeStochastik

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Zitat:

So wie ich die Aufgabe verstehe ist die Ausfallwahrscheinlichkeit p = 0.1359 gegeben.

Ja, dass ist Sie.

Demnach muss ich die Formel P(x=k) = (n über k) * p^k * q^n-k verwenden oder?

Ist n = z.B. 2
k = 365

?

Aber 2 über 365 kann ja gar nicht lösen.

20.09.2012, 13:48

Mazze

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Also Binomialverteilung ist schonmal richtig. Aber Du hast nicht 365 Versuche sondern Du hast 8 bzw. 9 versuche. Du untersuchst jede Festplatte einmal pro Jahr. Schließlich ist die Ausfallwahrscheinlichkeit pro Jahr angegeben nicht pro Tag.

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20.09.2012, 13:53

KnowledgeStochastik

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$\begin{eqnarray*} P(X=n) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * p^{k} * q^{n-k} \end{eqnarray*}$

Muss ich denn mit dieser Formel rechnen.

Das wären ja dann

$\begin{eqnarray*} P(X=n) = \begin{pmatrix} 2 \\ 8 \end{pmatrix} * 0,1359^{8} * 0,8641^{2-8} \end{eqnarray*}$

20.09.2012, 13:54

Mazze

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Richtig wäre :

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,1359^{2} * 0,8641^{8 - 2} \end{eqnarray*}$

Ich kann aus der Aufgabe nicht ganz erkennen ob die Sicherheitsfestplatte auch untersucht werden soll.

edit : Fehler korrigiert.

20.09.2012, 13:58

KnowledgeStochastik

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Also wäre die Wahrscheinlichkeit 1,356 * 10^-6?

Ist das denn wirklich jetzt schon so unwahrscheinlich?

20.09.2012, 14:00

Mazze

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Also wenn ich den Ausdruck mal ausrechne bekomme ich 4.65388173 × 10-7. Tatsächlich untersuchst Du ja die Wahrscheinlichkeit dass genau 2 Festplatten ausfallen und das ist schon recht unwahrscheinlich. Aus der Aufgabenbeschreibung geht leider nicht hervor ob mindestens oder genau gemeint ist.

edit: Nach der Fehlerkorrektur komme ich auf 0.215268743

20.09.2012, 14:07

KnowledgeStochastik

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Ich hatte die Aufgabenstellung gekürzt.

Also es ist gefragt, dass mindestens 2 ausfallen, aber ich hab gedacht, dass ich dann die Wahrscheinlichkeit für 2,3,4,5,6,7,8 berechnen soll.

20.09.2012, 14:08

KnowledgeStochastik

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Wie kommst du auf 4.65388173 × 10-7?

20.09.2012, 14:09

Mazze

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Also wenn Du die Wahrscheinlichkeit für mindestens 2 Ausfälle berechnen sollst , musst Du natürlich die Wahrscheinlichkeiten auch für 3,4,5,6,7,8 berechnen.

Denn :

Mindestens 2 bedeutet 2 Fallen aus, oder 3 fallen aus, oder 4 fallen aus usw.

Überlege Dir wie Du aus den Wahrscheinlichkeiten

$\begin{eqnarray*} P(X = n) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \{2,3,4,5,6,7,8\} \end{eqnarray*}$

die Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) \end{eqnarray*}$

bestimmen kannst Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.09.2012, 14:11

KnowledgeStochastik

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Ich denke mal das ich alle 7 Wahrscheinlichkeiten(2,3,4,5,6,7,8) ausrechnen muss und dann multiplizieren muss.

20.09.2012, 14:12

Mazze

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Nicht einfach blind raten, ordentlich überlegen. Was bedeutet

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) \end{eqnarray*}$

genau ?

20.09.2012, 14:14

KnowledgeStochastik

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, die Wahrscheinlichkeit P für ein X das größer oder gleich 2 ist

20.09.2012, 14:14

Mazze

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Ja, aber was heißt das jetzt mathematisch exakt? (X binomialverteilt)

edit: Schau oben nochmal die Formel für die Wahrscheinlichkeit an. Ich hatte da einen Fehlerchen drin.

20.09.2012, 14:22

KnowledgeStochastik

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Zitat:

edit: Schau oben nochmal die Formel für die Wahrscheinlichkeit an. Ich hatte da einen Fehlerchen drin.

jetzt komme ich auf 0,215 als Ergebnis für 2 defekte

Damit steigt die Wahrscheinlichkeit ggü. einer ja?? geschockt

geschockt

20.09.2012, 14:23

Mazze

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Zitat:

Damit steigt die Wahrscheinlichkeit ggü. einer ja?? geschockt

Ist doch klar, wenn Du 8 Festplatten untersuchst statt nur einer, dann steigt die Wahrscheinlichkeit bis zu einem gewissen Punkt, dann sinkt sie wieder.

20.09.2012, 14:45

KnowledgeStochastik

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Hmm Ok
muss ich die Wahrscheinlichkeiten jetzt für alle berechnen, also:

$\begin{eqnarray*} P(X=2) = \begin{pmatrix} 8 \\ 2 \end{pmatrix} * 0,1359^{2} * 0,8641^{8 - 2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=3) = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \end{pmatrix} * 0,1359^{3} * 0,8641^{8 - 3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=4) = \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \end{pmatrix} * 0,1359^{4} * 0,8641^{8 - 4} \end{eqnarray*}$

...

20.09.2012, 14:48

Mazze

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Ja, aber ansich sollte dir vorher klar sein warum Du diese Berechnen musst. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) = P( (X = 2) \text{oder} (X = 3) \text{oder} ... \text{oder} (X = 8)) \end{eqnarray*}$

Wie wird das "oder" wahrscheinlichkeitstheoretisch beschrieben?

20.09.2012, 14:50

KnowledgeStochastik

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$\begin{eqnarray*} Mit einem \cap oder verstehe ich dich jetzt falsch? \end{eqnarray*}$

20.09.2012, 14:51

Mazze

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Ne, der Durschnitt beschreibt "und" nicht "oder".

20.09.2012, 14:54

markushettmann

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Mit einem Plus?
Ich weiß es echt nicht sorry.

Wonach muss ich denn genau schauen?

20.09.2012, 14:55

Mazze

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Plus ist keine Operation auf Mengen und die "Wahrscheinlichkeitsfunktion" (salopp) ordnet einer Menge eine Zahl zwischen o und 1 zu. Es ist

$\begin{eqnarray*} P(X \geq 2) = P( (X = 2) \cup (X = 3) \cup ... \cup (X = 8)) \end{eqnarray*}$

Mit welcher Formel kannst Du so eine Wahrscheinlichkeit bestimmen?

20.09.2012, 15:01

markushettmann

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Ich hab keine Ahnung, aber ich finde auch nirgends irgentetwas mit diesem Oder-Zeichen.

20.09.2012, 15:03

Mazze

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Nuja, die Formel die Du brauchst ist die Siebformel. Dir muss nur noch klar werden warum die Verbundwahrscheinlichkeiten alle 0 sind.

20.09.2012, 15:06

markushettmann

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Ich habe noch nie etwas von einer Siebformel gehört.
Geht das nicht auch irgentwie anders?

Weil es dauert bestimmt ein paar Stunden bis man überhaupt weiß was das ist.
Allein wenn man sich mal die Formel auf der Seite anguckt die du verlinkt hattest.

20.09.2012, 15:09

Mazze

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Die Formel ist eine Verallgemeinerung von

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Und das hast Du sicher schonmal gesehen. Ich finde es erstaunlich dass Du so eine Aufgabe bekommst ohne die Siebformel zu kennen. Ich könnte dir jetzt sagen dass Du die Wahrscheinlichkeiten der Ausfälle einfach aufaddieren sollst , aber ohne zu wissen warum wird es dir nicht viel weiter helfen. Aber das ergibt sich eben genau aus der Siebformel.

20.09.2012, 15:11

markushettmann

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Ja die Formel hab ich schonmal gelesen.
Jedenfalls das:

$\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{eqnarray*}$

Damit kann ich was anfangen aber was soll das:

$\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

___________

Ich komme als Ergebnis auf: 0.2981, also 29,81 %.

Stimmt das?

20.09.2012, 15:14

Mazze

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Zitat:

Damit kann ich was anfangen aber was soll das: $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Kann ich mir irgendwie nicht vorstellen. Das ist das Ereignis "A und B".

Zitat:

Jedenfalls das: $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) = P(A) + P(B) \end{eqnarray*}$

Die Formel stimmt so nicht im Allgemeinen. Die Formel stimmt nur, wenn $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 0 \end{eqnarray*}$ ist. In unserem Fall ist dass so für alle Verbundwahrscheinlichkeiten. Daher ist

$\begin{eqnarray*} P((X = 2) \cup ... \cup (X = 8)) = P(X=2) + P(X = 3) + ... + P(X = 8) \end{eqnarray*}$

aber wie gesagt, man muss schon verstehen warum das so ist.

20.09.2012, 15:33

markushettmann

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Ok, dann habe ich diese Aufgabe jetzt fertig.
Warum das so ist schaue ich mir dann an wenn ich komplett fertig bin.

Ich habe allerdings noch ein Problem.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Festplatte an einem bestimmten Tag ausfällt ist:

0,0004

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei an einem bestimmten Tag ausfallen.

LÖsung:

q := 0.0004;
p := 1 - q;

Rechnung:

P1(X=2) := binomial(8,2)*p^2*q^(8-2);
P2(X=3) := binomial(8,3)*p^3*q^(8-3);
P3(X=4) := binomial(8,4)*p^4*q^(8-4);
P4(X=5) := binomial(8,5)*p^5*q^(8-5);
P5(X=6) := binomial(8,6)*p^6*q^(8-6);
P6(X=7) := binomial(8,7)*p^7*q^(8-7);
P7(X=8) := binomial(8,8)*p^8*q^(8-8);

Ergebnis:

DIGITS := 4:
Pges := P1(X=2)+P2(X=3)+P3(X=4)+P4(X=5)+P5(X=6)+P6(X=7)+P7(X=8);

1,0

Laut meiner Rechung komme ich auf 1.0, aber das ist ja unlogisch.

20.09.2012, 15:40

Mazze

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Zitat:

Laut meiner Rechung komme ich auf 1.0, aber das ist ja unlogisch.

Da musst Du dich verrechnet haben. Aber dass kann ich schwerlich überprüfen. Die Frage ist auch was "an einem bestimmten Tag" bedeutet.#

edit: Du scheinst in deinen Rechnungen p und q vertauscht zu haben.

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