Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wie lange würfeln bis man eine 6 hat.

20.09.2012, 13:30

RoccatTaito

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Wahrscheinlichkeitsrechnung, Wie lange würfeln bis man eine 6 hat.

Die Frage ist wie oft muss man im schnitt mit einem Würfel würfeln muss, bis man eine "6" erhält. Die Formel für den Erwartungswert lautet wie folgt.

$\begin{eqnarray*} E=\sum\limits\cdot n\cdot (\frac{5}{6}) ^{(n-1)} \cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert sagt "= 6 mal."

Jedoch wie komme ich auf diese 6 Mal. Bzw wie bekomme ich die Formel für den Erwartungswert in eine Geo. Folge umgewandelt???

20.09.2012, 13:35

HAL 9000

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Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} nq^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)q^n = \frac{1}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

aus der geometrischen Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen - die bekanntesten sind sicherlich

Differentiation nach $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ ,
Cauchy-Produkt mit sich selbst.

Es gibt dazu auch unzählige Threads hier im Board.

20.09.2012, 13:46

Mystic

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Ja, oder eben mit dem "Standardtrick", dass man die beiden Reihen

$\begin{eqnarray*} s=1+2q+3q^2+4q^3+\ldots \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} qs=\qquad q+2q^2+3q^3+\ldots \end{eqnarray*}$

voneinander abzieht und die so entstandene Reihe dann aufsummiert...

20.09.2012, 18:26

RoccatTaito

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hmm ok aber ist dan jetzt q 5/6 oder 1/6 kann die beiden brüche nicht wirklich einordnen.

weil die Chance beim ersten wurf die 6 zu würfeln ist ja 1/6

d.h

P(Z=1)= 1/6
P(Z=2)= 5/6 * 1/6
P(Z=3)= 5/6 * 5/6 * 1/6
.
.
.
P(Z=n)= (5/6)^n-1 * 1/6

verwirrt

verwirrt

20.09.2012, 18:43

Mystic

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Den Faktor 1/6 kannst ja herausheben aus der Summe... Lass ihn also zunächst weg, berechne die Summe mit HAL's Formel und multiplizier dann erst zum Schluss mit 1/6... Und für den Erwartungswert den Faktor n überall nicht vergessen!

20.09.2012, 18:59

RoccatTaito

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HAL'S Formel? höre ich zum ersten mal :> oder kenne ich unter andern namen Big Laugh

Big Laugh

???

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20.09.2012, 19:10

Mystic

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Hm, das hier sollte deinem Kurzzeitgedächtnis auf die Sprünge helfen... Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Original von HAL 9000
Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty} nq^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1)q^n = \frac{1}{(1-q)^2} \end{eqnarray*}$

aus der geometrischen Summenformel $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray*}$ nachzuweisen [...]

20.09.2012, 19:27

RoccatTaito

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achso ich dachte du meintest sowas wie die formel bzw gestetze von Kolmogorov xD

20.09.2012, 19:37

Mystic

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Ne, gestetze von HAL gibt's noch nicht, zumindestens nicht das ich wüßte... Big Laugh

Big Laugh

20.09.2012, 20:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mystic
Ne, gestetze von HAL gibt's noch nicht, zumindestens nicht das ich wüßte...

Hmm, vielleicht ist in meinem Film davon die Rede - müsste ihn mal wieder anschauen. Big Laugh

Big Laugh

20.09.2012, 20:19

RoccatTaito

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Also ich habe jetzt einfach die 1/6 vor das Summenzeichen gezogen , sodass dan lediglich folgendes übrig bleibt:

$\begin{eqnarray*} an=\frac{1}{6} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{5}{6} \right) ^{n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die geo. Formel anwende:

$\begin{eqnarray*} Sn=a1\cdot \frac{(1-q^{n}) }{(1-q)} \end{eqnarray*}$

setzte ich es wie folgt ja ein ... :

$\begin{eqnarray*} Sn=1\cdot \frac{(1-\frac{5}{6}^{n} ) }{(1-\frac{5}{6} )} \end{eqnarray*}$

wobei doch a1 hier für den ersten wurf zutrift ( bin mir nich sicher ob hier wirklich die 1 reinkommt)

Wenn ich nun mit Hilfe des lim n->oo (unendlich)

die Formel lösen möchte fällt ja die 5/6 ^n ja weg , da sie ja gegen 0 strebt ....

heißt also das dan folgendes nur noch stehen bleibt.

$\begin{eqnarray*} Sn=1\cdot \frac{1 }{(1-\frac{5}{6} )} \end{eqnarray*}$

wo nun das ergebniss die 6 ist. gut und schön ist ja die "lösung" sozusagen aber da ich ja die 1/6 vorher ausgeklammert habe dachte ich mir ich multipliziere sie einfach, wobei dan aber 1 rauskommt.. was ja nun nicht die "lösung" in dem Sinne ist.

Ich soll ja beweisen das man im durchschnitt 6 Würfe brauch um eine 6 zu WÜRFELN, mithilfe der Summengleichung oben.

Bitte um rat :P

20.09.2012, 20:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von RoccatTaito
$\begin{eqnarray*} an=\frac{1}{6} \sum\limits_{n=1}^\infty \left(\frac{5}{6} \right) ^{n-1} \end{eqnarray*}$

Was soll dieses $\begin{eqnarray*} an \end{eqnarray*}$ ? Die Summe, die du hier hinschreibst, ist die Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten, und da kommt natürlich die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 heraus - wie es sich gehört.

Eigentlich wolltest du doch den Erwartungswert

$\begin{eqnarray*} E=\sum\limits_{n=1}^{\infty} n\cdot \left(\frac{5}{6}\right) ^{(n-1)} \cdot \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

berechnen - irgendwie hast du wohl den Faden verloren? verwirrt

verwirrt

20.09.2012, 20:43

Mystic

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Oje...

unglücklich

Und dabei hatte ich oben schon so eine dunkle Vorahnung, als ich schrieb:

Zitat:

Original von Mystic
Und für den Erwartungswert den Faktor n überall nicht vergessen!

20.09.2012, 23:13

andyrue

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das ganze ist ein bernoulli experiment
P(T)=1/6

Lösung entfernt.

so steht's im mathebuch, so hab ich's bisher gemacht,
andy

20.09.2012, 23:41

Math1986

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Es geht hier darum, wie man sich das selbst herleitet, also bitte die Lösung nicht vorwegnehmen.

22.09.2012, 09:22

Math1986

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Zitat:

Original von RoccatTaito
geschockt

geschockt

Bitte gewöhne es dir an, in ganzen Sätzen zu schreiben, sonst versteht man nicht was du meinst.

Beiträge als Spam entfernt.

22.09.2012, 15:09

andyrue

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dies ist die sparte 'schulmathematik' des forums, würde mich wundern wenn man diesen erwartungswert mit einer reihe herleiten müsste, nicht mal im mathebuch 'leistungskurs stochastik' ist das beschrieben,

mfg andy

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