Topologie: Mengenoperation unklar bei Beweis

20.09.2012, 16:07	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie: Mengenoperation unklar bei Beweis Guten Tag Sei (X,d) ein metrischer Raum, $\begin{eqnarray} Y \subset X \end{eqnarray}$ ein metrischer Unterraum mit gleicher Metrik. Man will beweisen, dass $\begin{eqnarray} U \in Y \end{eqnarray}$ offen $\begin{eqnarray} \leftrightarrow \exists V \subset X \end{eqnarray}$ offen mit $\begin{eqnarray} V \cap Y =U \Rightarrow \exists E \subset X \end{eqnarray}$ abgeschlossen mit $\begin{eqnarray} E \cap Y =F \leftrightarrow F \subset Y \end{eqnarray}$ abgeschlossen Sei $\begin{eqnarray} F \subset Y \end{eqnarray}$ abgeschlossen. Dann ist $\begin{eqnarray} Y \setminus F \end{eqnarray}$ offen. Aus der linken Seite oben folgt, dass $\begin{eqnarray} \exists U \subset X \end{eqnarray}$ offen mit $\begin{eqnarray} U \cap Y = Y \setminus F \end{eqnarray}$ Die Menge $\begin{eqnarray} E:=X \setminus U \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen. Man meinte, es sei $\begin{eqnarray} E \cap Y \underbrace{=}_{\text{()}} Y \setminus (Y\setminus F) \end{eqnarray}$ und damit hat man obige Implikation gezeigt. Aber () verstehe ich nicht, wie kommt die Gleichheit (*) zustande? Ist das ein Fehler oder wie funktioniert das? Grüsse
20.09.2012, 16:11	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Mengenoperation unklar bei Beweis der ausdruck der linken seite ist =F, und da F teilmenge von Y ist gilt $\begin{eqnarray} F = Y\setminus (Y\setminus F) \end{eqnarray}$ . mal dir ein bild oder so vllt. . lg
20.09.2012, 16:33	pablosen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Mengenoperation unklar bei Beweis Hallo. Du meinst E ist gleich F ? Ich verstehe nicht warum? Dass $\begin{eqnarray} F = Y\setminus (Y\setminus F) \end{eqnarray}$ ist mir schon klar. Aber es ist mir nicht klar, warum $\begin{eqnarray} E \cap Y = (X \setminus U ) \cap Y \underbrace{=}_{\text{()}} Y \setminus (Y\setminus F) \end{eqnarray}$ Schritt () ist mir also unklar. Wie kommt man darauf? Grüsse
20.09.2012, 17:09	weisbrot	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie: Mengenoperation unklar bei Beweis ehm, sorry, hab mich verguckt, hab erst nicht alles im detail nachvollziehen wollen, naja.. jedenfalls: die linke seite ist $\begin{eqnarray} Y\setminus U = Y \setminus (Y\cap U) \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} Y\cap U = Y\setminus F \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} Y \setminus (Y\cap U) = Y\setminus (Y\setminus F) = F \end{eqnarray}$ . lg

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