Seminararbeit "Einführung in Matrizen"

20.09.2012, 20:01

Flo_Mathe_matrizen

Seminararbeit "Einführung in Matrizen"

Meine Frage:
Hallo. Ich habe das Vergnügen, eine Seminararbeit im Fach Mathematik über das Thema "Einführung in Matrizen" zu schreiben. Meine Frage ist, wie ihr die Arbeit, die etwa 10-15 Seiten aufbauen würdet. Ich habe mich etwas in das Thema eingelesen, weiß aber nicht ob ich mich schon ausreichend in alle Richtungen informiert habe und deshalb etwas wichtige vergesse.
Außerdem würde mich intressiert, inwiefern ich nur einfaches Wiedergeben der Standardinhalte betreiben soll oder ob ich zusätzlich eine Herleitung o.ä. einbauen muss.
Eine Frage wäre noch, ob es wichtig ist Determinanten zu erklären?
Danke schon im Vorraus.

Meine Ideen:
Also ich würde erstmal eine Definition angeben, was eine Matrix ist, wie man sie schreibt. Dann die verschiedenen Typen(Spezialformen), also Diagnalmatrix, Einheitsmatrix, Dreiecksmatrix, Nullmatrix, ...
Dann würde ich auf das Rechnen mit Matrizen eingehen, wie man addiert & multipliziert und welche rechenreeln gelten. Dann wäre noch eine Frage inwieweit ich auch noch Inverse & Transponierte Matrix einbauen soll und ob ich auf die Lineare Algebra, also die Abbildungsmatrix eingehen soll.

21.09.2012, 16:26

Che Netzer

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RE: Seminararbeit "Einführung in Matrizen"
Hallo,

hattet ihr schon Vektoren?
Wenn ja, dann könntest du die Matrizen in der Einleitung vielleicht als Verallgemeinerung dieser einführen.

Auf jeden Fall würde ich nach der Definition zunächst die grundlegenden Rechenoperationen definieren, also Addition und Multiplikation von Matrizen. Außerdem das Transponieren. (hier ggf. gleich symmetrische Matrizen definieren)
Als kleines Beispiel kannst du zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec y=\vec x^{\mathrm T}\vec y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt gäbe es zwei Richtungen:
1. Du betrachtest Gleichungssysteme. Hier definierst du den Rang einer Matrix (über die Treppennormalform), stellst den Gauß-Algorithmus vor und unterscheidest, wann ein lineares Gleichungssystem wieviele Lösungen hat.

Das wäre die anwendungsorientierte Möglichkeit, die auch in der Schule eher behandelt wird.

2. Du betrachtest speziell die quadratischen Matrizen. Hier definierst du die von dir genannten speziellen Typen von Matrizen:
Dreiecksmatrix (obere/untere),
Diagonalmatrix (obere UND untere Dreiecksmatrix),
Einheits- und Nullmatrix als spezielle Diagonalmatrizen.

Dann definierst du die inverse Matrix. Zeige ggf. dass diese eindeutig ist.
Für Diagonalmatrizen kannst du die als Beispiel schon allgemein angeben.
Die Determinante solltest du höchstens für $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen definieren, um darüber die Formel für die Inverse anzugeben.
Hier kannst du die Bedingung $\begin{eqnarray*} \det A\neq0 \end{eqnarray*}$ direkt herleiten, vielleicht auch die Inverse selbst.
Für $\begin{eqnarray*} 3\times3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen würde ich höchstens die Formel kurz aufschreiben (Determinante + Inverse), aber keine große Herleitung/Erläuterung dazu schreiben.

Das ist jetzt der Weg, der sich (offensichtlich) auf die Invertierbarkeit spezialisiert.

Je nachdem, wie ausführlich du vorgehst, kannst du auch 1. und 2. verwenden und dann die Lösung eines eindeutig lösbaren LGS mit der Inversen erwähnen.

Ansonsten kannst du auch noch etwas mehr Theorie machen und die LGS vollständig auslassen (oder nur kurz erwähnen), die Inverse definieren und danach einige Gesetze beweisen. Z.B. $\begin{eqnarray*} (AB)^{\mathrm T}=B^{\mathrm T}A^{\mathrm T} \end{eqnarray*}$ .

Du könntest auch auf Eigenwertprobleme eingehen.
Das charakteristische Polynom definieren, Eigenwerte als Nullstellen davon, zeigen, dass dann $\begin{eqnarray*} \lambda\operatorname{Id}-A \end{eqnarray*}$ nicht invertierbar sind, Eigenvektoren über $\begin{eqnarray*} Av=\lambda v \end{eqnarray*}$ definieren, Beispiel rechnen.
Wenn du genug Platz hast, kannst du noch Vielfachheiten definieren.

Frag am besten beim entsprechenden Fachlehrer nach, was erwartet wird. Wenn die Arbeit auf z.B. die Schule ausgerichtet werden soll, wäre Punkt 1 hervorzuheben und der restliche Platz mit Punkt 2 aufzufüllen.

Wenn du allgemein etwas über Matrizen schreiben sollst, wäre Punkt 1 weniger interessant.

Hier noch ein paar weitere Begriffe, wenn du irgendwelche Beispiele/Unterthemen suchst:

Rotationsmatrizen (besonders interessant, wenn ihr analytische Geometrie betrieben habt)
Matrix-Exponentialfunktion (wenn Potenzreihen/die Reihendarstellung der Exponentialfunktion bekannt sind)
Polynome in Matrizen (Du kannst z.B. nur Diagonalmatrizen betrachten und dann zeigen, dass man quadratische Gleichungen mit Diagonalmatrizen auch über die p-q-Formel lösen kann, d.h. Gleichungen wie $\begin{eqnarray*} D^2+pD+q\operatorname{Id}=0 \end{eqnarray*}$ )
nilpotente Matrizen (das Neue: Es gibt von Null verschiedene Elemente, die miteinander multipliziert (bzw. potenziert) Null ergeben)

Naja, ich schätze, das wären jetzt genug Ideen für dich smile

Frage wie gesagt noch einmal nach, in welche Richtung deine Arbeit gehen soll.
Da kannst du auch noch fragen, inwiefern du etwas herleiten sollst. D.h. ob du einfach nur die Sätze aufschreiben sollst oder sie beweisen sollst (z.B. die Inversenformel durch Multiplikation) oder sie komplett herleiten sollst (was mit der Multiplikation ja nicht getan wäre).

Zitat:

Eine Frage wäre noch, ob es wichtig ist Determinanten zu erklären?

Die Determinante für $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ - oder $\begin{eqnarray*} 3\times3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen zu definieren, dürfte ausreichen. (Edit: Aber auch das MUSS natürlich ggf. nicht getan werden, wenn etwas anderes erwartet wird)
Vielleicht stellst du sie noch kurz als Spatvolumen vor.
Aber die Definition über diese umständliche Summe mit den Permutationen etc. brauchst du sicher nicht wiederzugeben.

mfg,
Ché Netzer

21.09.2012, 16:29

Iorek

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Facharbeit /GFS erstellen

24.09.2012, 13:12

Flo_Mathe_matrizen

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Danke schonmal für die ausführliche Antwort.

Für mich scheint Variante 2 deutlich intressanter, weil es noch eine zweite Seminararbeit mit dem Titel "Anwendung von Matrizen" geben soll und diese Person eben auf den genannten Gauß Algorithmus eingehen will.

Jetzt würde mich noch intressieren, ob sie nur auf 2x2 Matrizen genauer eingehen würden, also in Beispielen oder allgemeinen Formeln oder auch 3x3 verwenden würden.

Dein Ansatz klingt sehr intressant. Mich würde noch intressieren wie ich zeige, dass die inverse eindeutig ist und wie ich

beweise.

24.09.2012, 14:17

Che Netzer

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Gut, dann kannst du lineare Gleichungssysteme natürlich ignorieren Augenzwinkern

Ob du nur $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen betrachtest, hängt davon ab, wie viel Platz du noch hast und ob wieviele andere Themen du aufnimmst.
Auf jeden Fall solltest du erwähnen, dass die Definition der Determinante auch auf allgemeine quadratische Matrizen erweitert werden kann.
Allgemeine Formeln sollten selbstverständlich so allgemein wie möglich gehalten werden.
Wenn du die Determinante also nur für $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ -Matrizen definiert hast, dann solltest du die Formeln auch nur für diese aufstellen bzw. beweisen. (ggf. mit dem Kommentar, dass auch diese Formeln verallgemeinert werden können)

Generell dürften Probleme bei großen Matrizen aber nur in Verbindung mit der Determinante oder der Invertierbarkeit auftreten.

Die Eindeutigkeit der Inversen regulärer Matrizen zeigst du so:
Sei $\begin{eqnarray*} A\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ invertierbar. Seien $\begin{eqnarray*} A^{-1},\tilde A^{-1}\in\mathbb R^{n\times n} \end{eqnarray*}$ zwei inverse Matrizen zu $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .
Dann zeigst du, dass $\begin{eqnarray*} A^{-1}=\tilde A^{-1} \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Die Bedingung $\begin{eqnarray*} \det A\neq0 \end{eqnarray*}$ für die Invertierbarkeit zu zeigen, ist etwas schwieriger. Die brauchst du aber auch nur für $\begin{eqnarray*} 2\times2 \end{eqnarray*}$ - oder höchstens $\begin{eqnarray*} 3\times3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen zu zeigen.
Setze hierzu
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\\gamma&\delta\end{pmatrix}\overset!=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\,. \end{eqnarray*}$
Daraus kannst du dann die Formel der Inversen ableiten und erhältst die genannte Bedingung.
Beachte, dass du damit nur gezeigt hast: Gilt $\begin{eqnarray*} \det A\neq0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar.

Für $\begin{eqnarray*} 3\times3 \end{eqnarray*}$ -Matrizen könntest du ähnlich vorgehen, aber das wird eine widerliche Rechnung.
Wenn du das aber auch zeigen möchtest, dann such dir vielleicht einfach die entsprechende Formel für die Inverse heraus und zeige, dass sie stimmt. Dann fällt die Inverse in deiner Arbeit zwar vom Himmel, aber du hast bewiesen, dass sie stimmt.

Schreibe am besten erst einmal das auf, was auch ganz sicher in die Arbeit soll (da reicht die Rohform), damit du siehst, wieviel Platz dir für Themen deiner Wahl bleibt.

17.10.2012, 14:04

Flo_Mathe_matrizen

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Einleitung
So jetzt hab ich schonmal bisschen was geschrieben, eine Gliederung aufgebaut usw, jetzt bräuchte ich nur noch den passenden Einleitsungsgedanken.

Hättet ihr irgendeine Empfehlung mit welcher Idee ich am besten zum Thema hinführen kann.

Zum einen hab ich einfach an die Entstehung/ Entdeckung von Matrizen gedacht, hierzu findet man jedoch nur sehr wenig, selbst im Internet..

Dann hab ich mir noch überlegt, einfach zu erklären wofür man Matrizen verwendet, dass passt aber dann mehr in die zweite Seminararbeit "Anwendung von Matrizen" und ist auch, wenn liefert auch zu wenig Stoff für eine Einleitung.

Deshalb wäre ich für gute Ideen sehr Dankbar.

17.10.2012, 18:59

Che Netzer

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RE: Einleitung
Du könntest Matrizen z.B. über lineare Gleichungssysteme motivieren. Als Objekt, in dem die Koeffizienten "gespeichert" sind.
Wenn deine Arbeit eher theoretisch gestaltet werden soll, kannst du auch mit Vektoren beginnen: Wenn man also Zahlen untereinander schreiben und zu einem Objekt zusammenfassen kann, ist das auch für andere Konstellationen definiert?

Ein paar Anwendungsbeispiele kannst du in der Einleitung auch erwähnen, z.B. das Standardbeispiel mit Suchmaschinen; dabei solltest du aber nicht ins Detail gehen. (In welchen Bereichen werden die Matrizen zu welchem Zweck angewandt und welche Eigenschaft nutzt man dabei bzw. welchen Grundgedanken hat die Anwendung? Mehr nicht)

Zur Geschichte von Matrizen solltest du nur etwas heraussuchen, wenn der Lehrer es so möchte.

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