Hessesche Normalform - Lot

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Jessica.Studentin Auf diesen Beitrag antworten »
Hessesche Normalform - Lot
Meine Frage:
Hallo,

wir haben in der Uni die Hessesche Normalform, wie folgt definiert:
Zu einer Ebene wobei a1 und a2 lin. unabh. Vektoren aus dem R³ und b aus R³ ein Punkt der Ebene ist, dann gibt es einen Normalvektor c* aus R³ der orthogonal zu a1 und a2 ist und dessen Norm 1 ist. Dann kann man die Ebene auch in der Hesseschen Normalform darstellen wobei aus R ist und durch =<c*,b> gegeben ist.
Wenn man nun eine Ebene in Hesse Normalform gegeben hat, und den Abstand zu einen Punkt v0 aus R³ bestimmen will, dann gibt es genau ein w0 aus der Ebene mit v-w0=c*, aus R.
Das Skalar erfüllt dann =<c*,v>- und es gilt das der Abstand d(v0,E)=||v-wo||= ||.


Meine Ideen:
So nun zu meiner Frage: Ich weiß das w0 der Fußpunkt des Lots von v0 auf der Ebene ist. Und der Abstand des Punktes von der Ebene ist eben genau Lambda. Was ich nicht verstehe ist was Gamma ist. Klar ich weiß dass ich Gamma erhalte, wenn ich den Normalvektor im Skalarprodukt mit dem Stützvektor der Ebene nehme. Jedoch kann ich mir unter dem erhaltenen Skalar überhaupt nichts vorstellen und deshalb verstehe ich auch das umstellen der Formel zu =<c*,v>- nicht. Ich hoffe mir kann irgendwer weiterhelfen.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du verwendest folgende Bezeichnungen:

= Punkt außerhalb der Ebene
= Fußpunkt des Lotes vom Punkt auf die Ebene.
=Einheitsvektor, der senkrecht auf der Ebene steht
-----------------------------------------------------------------------
Offenbar ist die Differenz das Lot, also derjenige Vektor, der vom Punkt auf die Ebene zeigt. Da ebenfalls senkrecht auf der Ebene steht, muss folgende Gleichung existieren



Da ein Einheitsvektor ist, ist offenbar die Länge des Lotes, was dem Abstand des Punktes von der Ebene entpricht. Multiplikation mit liefert



Das Skalarprodukt ist anschaulich die Projektion des Stützvektors auf diejenige Gerade, die senkrecht auf der Ebene steht. Da diese Projetion für alle Punkte der Ebene gleich ist, kann man in der 2.Gleichung anstelle von jeden beliebigen Stützvektor einsetzen, ohne dass sich ändert. Die 1.Gleichung ist aber anschaulicher. Ich würde mir über die 2.Gleichung nicht allzu viel Gedanken machen.
Jessica.Studentin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Ehos, so versteh ich das schonmal um einiges besser.
Eine Frage hab ich noch, ist dieses Gamma denn der Abstand, den die Ebene zum Ursprung hat? Habe das im Internet nachgelesen.
Oder steht das dem, wie du Gamma beschrieben hast entgegen oder ist es gleichbedeutend?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau. Das Skalarprodukt ist der Abstand der Ebene vom Nullpunkt.
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