Grenzwerte von Termen

21.09.2012, 15:23

WonderTree

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Grenzwerte von Termen

Hallo zusammen,

wir haben neulich mit dem neuen Thema "Grenzwerte von Termen" begonnen. Mathematisch ist das nicht ganz richtig ausgedrückt, ich weiß, aber soll das jetzt erst mal nicht weiter schaden, weil es mir hier eigentlich mehr um mein Problem geht.

Solche Terme waren mir ja noch klar:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{8}{n²} \end{eqnarray*}$

Jetzt fällt aber dieses Unendlich-Zeichen weg und es sieht wie folgt z.B. aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2} \end{eqnarray*}$

Dass man die 2 nimmt, damit im Nenner nicht 0 steht, verstehe ich, aber was bringt mir das eigentlich überhaupt da statt unendlich "2" stehen zu haben???

Danke im Voraus.

21.09.2012, 15:35

Tsem

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Naja Es kann ja sein das du eine Funktion hast, wie die von dir gegebene, wo nicht ganz klar welchen Wert Sie bei 2 annimmt. Deshalb muss man dann schauen was der Grenzwert der Funktion an 2 ist.

21.09.2012, 15:41

Christian_P

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Genau! Oben hast du eine Nullfolge. Unten müsstest du gucken, wie du die Division durch 0 umgehen kannst. Du müsstest den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x=2 ausrechnen. Kennst du das schon?

lg

21.09.2012, 16:02

WonderTree

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Danke für die schnellen Antworten.

Nein, wie man den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x=2 ausrechnet, haben wir noch nicht gemacht. Wir sollen das jetzt irgendwie anhand einer Wertetabelle herausfinden.

Zur zweiten Funktion aus dem Anfangspost hatten wir dann erst eine Wertetabelle angelegt und anschließend ins Koordinatensystem eingezeichnet.

Als Lösungen hatten wir dann:

$\begin{eqnarray*} l-\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2} = -\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-\lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2} = \infty \end{eqnarray*}$

Ich habe mal das Bild mit der Funktion angehängt.

Könntet ihr mir bitte mal erklären, wie man anhand dieses Bildes auf die Lösungen kommt? Gerechnet hatten wir da nichts.

Danke!

21.09.2012, 16:13

WonderTree

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Noch etwas größer:

21.09.2012, 17:36

Christian_P

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Wenn man auf der x-Achse von links gegen die 2 geht, dann gehen die Funktionswerte nach unten weg. Anschaulich könnte man nun vermuten, dass der linksseitige Grenzwert -oo ist. So hast du es auch aufgeschrieben.

Andersherum gehen die Funktionswerte nach oben weg, je weiter man sich der 2 von rechts nähert. Auch hier ist es anschaulich klar, dass der rechtsseitige Grenzwert +oo sein könnte.

Das ist noch kein Beweis, aber es ist grafisch recht anschaulich. An der Stelle x=2 hat die Funktion (bzw. der Term... nicht ganz korrekt aber egal) keinen Wert (Zahlenwert) bzw. ist mathematisch nicht definiert (ist kein mathematisches Objekt), da hier durch 0 dividiert wird!

Setze mal in den Taschenrechner Werte recht nahe bei 2 in den Term ein. Z.B. 1,9 | 1,99 | 1,999 | usw. bzw. 2,1 | 2,01 | 2,001 | usw. und schau dir mal die Funktionswerte an.

lg

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21.09.2012, 18:53

WonderTree

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Danke dir, die ersten fünf Sätze haben mir geholfen, mir das ganze besser vorstellen zu können. Jetzt verstehe ich schon mal wie man auf die Unendlich kommt.

Beispiele verdeutlichen das besser:
Bei 2,01 ist der Wert 401, bei 2,001 schon 4001. Daher vermutet man, dass der Grenzwert unendlich sein könnte, ich verstehe!
Ähnliches gilt natürlich auf der linken Seite auch.

So, habe wie von unserem Lehrer erwünscht jetzt versucht, die erste Aufgabe eigenständig zu lösen.

Gegeben ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} \end{eqnarray*}$

Habe dann eine Wertetabelle angelegt, dabei kamen folgende Werte heraus:

X -> Y
-2 -> 2
0,5 -> -0,5
0,9 -> -0,9
0,99 -> -0,99
1 -> geht nicht
1,01 -> -1,01
1,1 -> 1,1

Dann habe ich sie in ein KOS gezeichnet und habe folgendes herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} l-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen oder?

21.09.2012, 19:30

WonderTree

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Noch eine weitere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{2^{x} -1} \end{eqnarray*}$

Grenzwerte wieder durch Testeinsetzungen bestimmen.

Meine Wertetabelle:

X -> Y

-1 -> -1
-0,1 -> -13,93
-0,01 -> -14,98
0 -> geht nicht
0,000001 -> etwa 1,4430
0,00001 -> etwa 1,4426
0,001 -> etwa 1,4339
0,1 -> etwa 1,3933
1,5 -> 0,82
30 -> 0,00000028

Aber was ist jetzt der Grenzwert? Ist der Grenzwert eigentlich immer ein Y Wert oder kann das auch ein X Wert sein?

21.09.2012, 19:45

WonderTree

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Irgendwie bin ich durcheinander.

Mir wird nicht ganz klar, was der Unterschied zwischen dem Fall ist, wenn unter "lim" ein Unendlich-Zeichen ist und dem Fall, wenn eine Zahl da steht.
Die Werte kann ich ausrechnen, wie ich aber dann auf den jeweiligen Grenzwert komme, weiß ich noch nicht so ganz.

22.09.2012, 14:14

chris_78

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Zitat:

Original von WonderTree
....
Habe dann eine Wertetabelle angelegt, dabei kamen folgende Werte heraus:

X -> Y
-2 -> 2
0,5 -> -0,5
0,9 -> -0,9
0,99 -> -0,99
1 -> geht nicht
1,01 -> -1,01
1,1 -> 1,1

Dann habe ich sie in ein KOS gezeichnet und habe folgendes herausgefunden:

$\begin{eqnarray*} l-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = 1 \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen oder?

Nein!
Bei 1,1 erhälst Du -1,1 in der Wertetabelle!
Und warum folgerst Du dann aus Deiner Wertetabelle einen links- und rechtsseitigen Grenzwert von +1 ?
Deine Wertetabelle deutet doch schon auf die richtige Lösung -1 hin.
Es lässt sich auch leicht zeigen, dass das stimmt, denn:
$\begin{eqnarray*} \frac{x-x²}{x-1}= \frac{-x(-1+x)}{x-1}=\frac{-x(x-1)}{x-1}=-x \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 14:51

chris_78

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Zitat:

Original von WonderTree
Aber was ist jetzt der Grenzwert? Ist der Grenzwert eigentlich immer ein Y Wert oder kann das auch ein X Wert sein?

Da scheint mir bei Dir noch ein grundsätzliches Verstädnisproblem zu sein.
Ich formulier es mal so:
Mit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to n} f(x) \end{eqnarray*}$
versucht man herauszufinden welchen Funktionswert (y-Wert) der Funktionsterm hat, wenn man die x-Werte immer weiter an den Wert n heranrücken lässt (wobei f(x) stellvetretend für Deinen Funktionsterm steht). Dies solltet ihr hier mit Hilfe der Wertetabellen nachvollziehen.
Steht n für eine Zahl so hat man einmal die Möglichkeit von links, aber auch von rechts an den Wert n heranzurücken.
Bsp n=1 von links mit 0,9 ; 0,99 ; 0,999 ; 0,9999 ;.....
und von rechts mit 1,1 ; 1,01 ; 1,001 ; 1,0001 ; ......
steht n nun für +unendlich so kann man sich eben nur von links annähren indem man immer größere Werte wählt (bei minus unendlich nur von rechts indem man immer kleinere wählt)
Nun ist es bei einer Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=3x \end{eqnarray*}$ nicht sonderlich interessant Grenzwerte zu berechnen, da hier ja für jedes x auch ein Funktionswert existiert.
Z.B. ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} 3x =6 \end{eqnarray*}$ und entspricht eben dem Funktionswert an der Stelle x=2
Und auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } 3x=\infty \end{eqnarray*}$ lässt sich leicht nachvollziehen. Wenn die x Werte gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ gehen, dann gehen natürlich hier auch die Funktionswerte gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Interessant wird es dort wo ein Funktionswert nicht definiert ist. Bei Deinen Beispielen gibt es x-Werte, wo der der Nenner 0 wird und damit die Funktion nicht definiert ist, da man durch Null nicht teilen kann.
Man kann bei $\begin{eqnarray*} \frac{x+2}{x-2} \end{eqnarray*}$ also nicht sagen welchen Wert die Funktion an der Stelle x=2 hat, da es nicht definiert ist. Was man aber nun tun kann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2} \end{eqnarray*}$
sich also dieser nicht definierten Stelle x=2 anzunähren und zu schauen was mit den Funktionswerten passiert, wenn man sich der Stelle unendlich nah annährt. Gehen sie gegen einen bestimmten Wert? Oder gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ?
Dies nennt man dann den Grenzwert.
Und da wir hier $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \end{eqnarray*}$ hatten müssen wir untersuchen wie es ist wenn wir uns der 2 von rechts näheren und auch was passiert, wenn wir uns von links annäheren. Der rechts- und linksseitige Grenzwert sind hier nämlich unterschiedlich bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 2} \frac{x+2}{x-2} \end{eqnarray*}$ wie Du ja auch schon herausgefunden hast.

22.09.2012, 15:11

chris_78

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Zitat:

Original von WonderTree
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{2^{x} -1} \end{eqnarray*}$
Meine Wertetabelle:

X -> Y

-1 -> -1
-0,1 -> -13,93
-0,01 -> -14,98
0 -> geht nicht
0,000001 -> etwa 1,4430
0,00001 -> etwa 1,4426
0,001 -> etwa 1,4339
0,1 -> etwa 1,3933
1,5 -> 0,82
30 -> 0,00000028

Die Wertetabelle würde ich nochmal nachrechnen. -0,1 und -0,01 passen nicht.
Und da wir ja x gegen 0 gehen lassen reicht es Dich auf Werte um die Null herum zu konzentrieren. Also 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; 0,0001.... und -0,1 ; -0,01 ; -0,001 ....
30 ist da völlig irrelevant

23.09.2012, 11:30

WonderTree

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Okay, ich glaube, ich bin jetzt schon mal ein Stück weiter.

Zur Aufgabe $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} \end{eqnarray*}$

Habe die Wertetabelle korrigiert, jetzt komme ich auf:

X -> Y

0,9 -> -0,9
0,99 -> -0,99
1 -> geht nicht
1,01 -> -1,01
1,1 -> -1,1

Und spätestens nach deiner Erklärung ist mir die Sache auch klar, die Lösungen für den links- und rechtsseitigen Grenzwert sind -1, also:

$\begin{eqnarray*} l-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r-\lim_{x \to 1} \frac{x-x²}{x-1} = -1 \end{eqnarray*}$

So, die Aufgabe $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{2^{x} -1} \end{eqnarray*}$

Wertetabelle:

X -> Y

-0,1 -> etwa 1,4933
-0,01 -> etwa 1,4477
-0,001 -> etwa 1,4432
0 -> geht nicht
0,00001 -> etwa 1,44259
0,0001 -> etwa 1,44265
0,001 -> etwa 1,4412
0,01 -> etwa 1,4377

Ist der links- und rechtsseitige Grenzwert hier dann 1,44?

Also linksseitig könnte ich das nachvollziehen, man geht ja je näher man der 0 kommt immer weiter an die 1,44 ran. Rechts aber habe ich eine Frage (Stelle rot markiert) : Bei 0,00001 ist der Wert 1,44259, dann wird er bei 0,0001 größer, aber bei 0,001 wieder kleiner???

23.09.2012, 11:35

WonderTree

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Habe gerade zum Test noch den Wert 0,000001 in den Term eingesetzt. Da kommt dann etwa 1,443001 heraus.

Ich würde daher einfach mal vermuten, der rechts- und linksseitige Grenzwert ist 1,443. Das lässt sich anhand der Wertetabelle so bestätigen.

23.09.2012, 21:57

Christian_P

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Hallo

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{x}{2^{x} -1} \end{eqnarray*}$

Dem ist wohl mit trivialen Mitteln nicht mehr beizukommen! Big Laugh

Big Laugh

Die Regel von L'Hospital wäre dazu nötig...

Hier ist der Grenzwert eine transzendente Zahl. Diese kann nicht vollständig als Dezimalbruch hingeschrieben werden. Du kannst hier nur einen Näherungswert für den Grenzwert abschätzen!

lg

24.09.2012, 04:59

chris_78

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Zitat:

Original von WonderTree
...
0,00001 -> etwa 1,44259
0,0001 -> etwa 1,44265
.....

Da hast Du dich vertan.
0,00001 -> 1,44269 (gerundet)
Somit dürfte sich auch Deine Verwirrung legen

Zitat:

Original von WonderTree
Habe gerade zum Test noch den Wert 0,000001 in den Term eingesetzt. Da kommt dann etwa 1,443001 heraus.
....

Das kann man eigentlich nicht so stehen lassen.
Bei 0,000001 komme ich auf 1.44269454089.....
Auf 6 Nachkommastellen sind das aber gerundet 1.442695 und keine 1,443001
Überhaupt wäre es schöner bei allen Werten die gleiche Anzahl an Nachkommastellen anzugeben (und dabei sollte man dann auch richtig runden).

Hättest Du z.B. auch -0.000001 noch berechnet dann hättest Du den Grenzwert von links und rechts schon gut eingegrenzt (bis auf 5 Nachkommastellen).

Wie Christian_P schon erwähnte lässt sich der Grenzwert nur näherungsweise angeben, er liegt bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(2)}=1.44269504088895 \end{eqnarray*}$
und ist eine irrationale Zahl (Ich dachte mir irrational kennt ein Schüler vielleicht eher, als transzendent. Ist hier transzendent und irrational, wobei das bitte nicht das gleiche ist @WonderTree).

24.09.2012, 18:41

WonderTree

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Alles klar! Danke für die Hilfen bzw. weiteren Erklärungen. Ich habe jetzt soweit alles verstanden und habe bei der Aufgabe auch den gerundeten Näherungswert von 1,443 herausbekommen.

In dem Sinne noch einmal vielen Dank!

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