Flächenberechnung durch Integral

21.09.2012, 16:15

Monkey101

Flächenberechnung durch Integral

Hallo.
Ich bins mal wieder verwirrt

Ich bin gerade beim rechnen alter Klausuren auf folgende Aufgabe gestoßen:

Berechnen Sie den Inhalt der von den Schaubildern von
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{a}x^{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} h(x)=2x-a \end{eqnarray*}$

und der x-Achse begrenzten Fläche (Parameter a > 0) .

Gut also hab ich zuerst die beiden Funktionen gleich gesetzt um den Schnittpunkt zu bekommen:

$\begin{eqnarray*} g(x)=h(x) \frac{1}{a}x^{2}-x+a=0 => x^{2}-2ax+a^{2}=0 => (x-a)^{2}=0 => x-a=0 => x=a \end{eqnarray*}$

Dann hab ich g(x) - h(x) gerechnet um die Fläche zwischen den Funktionen zu bestimmen und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x^{2}-x+a=0 \end{eqnarray*}$

Dann die Stammfunktion davon:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{a}}{3}x^{3}-x^{2}+ax \end{eqnarray*}$

Das jetzt von 0 bis a und erhalte als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}a^{2} \end{eqnarray*}$

Die richtige Lösung sollte aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}a^{2} \end{eqnarray*}$ sein

Wo liegt der Fehler?

Bin wie immer dankbar für jede Hilfe smile

mfg Monkey101

21.09.2012, 16:21

Gast11022013

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Die Stammfunktion sollte falsch sein.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{a}x^2-x+a dx \neq \frac{1}{3a}x^3-x^2+ax \end{eqnarray*}$

siehst du den Fehler?

Außerdem solltest du noch die Schnittpunkte der Funktionen mit der x-Achse bestimmen, damit du auch deine Grenzen hast.

Edit: Stammfunktion stimmt. Du hattest bloß einen Tippfehler beim aufschreiben gemacht deshalb hatte ich auf einen Fehler geschlossen.

21.09.2012, 16:33

Monkey101

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Zitat:

Original von Gmasterflash
Die Stammfunktion sollte falsch sein.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{a}x^2-x+a dx \neq \frac{1}{3a}x^3-x^2+ax \end{eqnarray*}$

siehst du den Fehler?

Außerdem solltest du noch die Schnittpunkte der Funktionen mit der x-Achse bestimmen, damit du auch deine Grenzen hast.

Nee sry ich hab beim schreiben hier ne 2 verbummelt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x^2-2x+a \end{eqnarray*}$
Wäre richtig bei g(x) - h(x)

Müsste ich da jetzt noch mit pq-Formel die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a}x^2-2x+a \end{eqnarray*}$ berechnen?

21.09.2012, 16:39

Gast11022013

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So meinte ich das nicht.

Du hast nun außerdem wieder ein a verbummelt. Augenzwinkern

Du brauchst ja zwei Grenzen. Einmal die obere, welche a ist und die untere. Die müsstest du noch berechnen. Vielleicht hast du sie nur nicht aufgeschrieben, aber 0 klingt ein wenig geraten. Obwohl es richtig ist.

Edit: Hab gerade Blödsinn erzählt. Berechne vorerst die Nullstellen in dem Intervall wie oben bereits angesprochen.

21.09.2012, 16:49

Monkey101

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Oh ja da is mir nen "a" verloren gegangen Hammer

edit: Wie genau meinste das? Mit der pq-Formel?

edit2: Ah moment ich glaub ich hab da ne Idee... verwirrt

21.09.2012, 16:52

Gast11022013

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Nein. Ich hatte gerade selber einen Fehler gemacht. Wir suchen ja die Funktion, die auch von der x-Achse begrenzt wird.

Du musst also g(x)=0 und h(x)=0 bestimmen.

Daraus ergibt sich untere Grenze.

g(x)-h(x)=0 ist die obere Grenze.

h(x)=0 findest du eine weitere Größe die in der Berechnung eine Rolle spielt.

Leider komme ich mit diesem Weg auch nicht auf die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}a^2 \end{eqnarray*}$

21.09.2012, 16:53

Che Netzer

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Kurze Veranschaulichung für $\begin{eqnarray*} a=1 \end{eqnarray*}$ :

Das Dreieck links unten (unter der $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse) muss von den $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}3 \end{eqnarray*}$ noch abgezogen werden, das sind ja genau $\begin{eqnarray*} \frac{a\cdot\frac a2}2=\frac{a^2}4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{a^2}3-\frac{a^2}4=\frac{a^2}{12} \end{eqnarray*}$ .
Du hast bisher die Fläche zwischen den Graphen im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,a] \end{eqnarray*}$ berechnet, die $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Achse soll die Fläche aber auch abgrenzen.

Vielleicht wird so deutlich, wo der Fehler lag.

Das ganze mathematisch sauber zu erklären, überlasse ich Gmasterflash Augenzwinkern

21.09.2012, 16:56

Kasen75

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kleiner Hinweis
Hallo,

ihr seid auf dem richtigen Weg mit der Nullstellenbestimmung. Wenn man dann jeweils zwischen den Grenzen integriert, kommt man auch auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12} a^2. \end{eqnarray*}$

Mit freundllichen Grüßen.

21.09.2012, 17:04

Gast11022013

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Ich komme im Endeffekt auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{24}a^2 \end{eqnarray*}$

Geogebra bestätigt mir das eigentlich auch. verwirrt

Edit:

Hmm.... man muss die Flächen natürlich noch addieren.

Jetzt hab ich auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{12}a^2 \end{eqnarray*}$

21.09.2012, 17:16

Monkey101

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Ok. Ich hab da irgendwie noch nen Logikfehler in meiner Denkweise.
Ich probier meine Überlegung mal zu erläutern:

Durch das Gleichsetzen der beiden Funktionen erhalte ich den Schnittpunkt. (In dem Fall "a")

Wenn ich jetzt das Integral von g(x) im bereich 0 bis a angucke würde ich doch die gesamte Fläche bis zu dem Punkt a unter der roten Kurve bekommen oder?

Wenn ich das ganze dann mit der h(x) machen würde hätte ich dann die gesamte Fläche (also von 0 bis ~0,5 negativ und dann bis a positiv) von der grünen Linie?

Falls ja welche Fläche hab ich denn dann mit meiner Stammfunktion (g(x) - h(x)) berechnet? Wäre das dann quasi die komplette Fläche unter "Rot" minus die gesamte Fläche (positiv und negativ) von Grün?

Falls auch hier ja muss ich dann noch rausfinden wo h(x) die x-Achse schneidet und von dem Punkt bis zu a die Fläche ausrechnen? Dann mit der h(x) Funktion oder auch mit der von mir gebildeten Stammfunktion?

Hätte ich dann überhaupt so eine Stammfunktion bilden müssen? Hätte es dann nicht gereicht den Schnittpunkt (a) zu bestimmen und dann einfach G(x) von 0 bis a minus H(x) von (Schnittpunkt x-Achse) bis a zu berechnen?

mfg Monkey

edit: Boah ich bin grad voll verwirrt

edit2: @ Gmasterflash könntest du mir so ein Bild hochladen mit der Fläche von meiner Stammfunktion und dem Bereich 0 bis a?

21.09.2012, 17:25

Gast11022013

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Du hast die unten angehängte Fläche berechnet.

Zitat:

Falls auch hier ja muss ich dann noch rausfinden wo h(x) die x-Achse schneidet ?

Genau. Zu erst

h(x)=0

Jedoch musst du dann mit der Stammfunktion von g(x) in den Grenzen integrieren.
Danach musst du die Differenzfunktion bilden und diese integrieren.

Du musst nun also folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int g(x) \,dx + \int g(x)-h(x) \,dx \end{eqnarray*}$

Ich habe die Grenzen jetzt mal absichtlich weggelassen.

21.09.2012, 17:49

Monkey101

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Ah ok das Bild hat mir geholfen danke smile

Also der Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse müsste [latex]\frac{1}{2}a/[latex] sein.

Deine Integrale verstehe ich aber noch nicht so ganz.

Aber nochmal meine letzte Überlegung:

Wäre es denn nicht viel einfacher einfach den Integral von g(x) (ich weiß leider nicht wie der latex code für das Integralzeichen geht und find auch auf die schnelle hier im Forum nichts) von 0 bis a zu integrieren und von diesem den Integral von h(x) von 1/2 a bis a abzuziehen? Dann hätte ich doch genau die gesuchte Fläche und müsste garnicht mit der Stammfunktion G(x) - H(x) (die mich grad eh total verwirrt) arbeiten...oder?

edit: Soooo ich habs jetzt wie oben gesagt mal ausprobiert und komme auch auf die 1/12 a² . Das war aber jetzt ne lange Geburt.

Wenn mir trotzdem noch jemand den Lösungsweg mit der anderen Stammfunktion kurz erläutern könnte (nur zum Verständnis) wäre das super smile

Sonst kann ich nur sagen: Vielen vielen Dank ich habt mir sehr geholfen Gott

edit2: Hab deine Antwort gesehen jetzt hab ich es verstanden...Dankesehr und schönen Abend noch smile

21.09.2012, 18:01

Gast11022013

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Zu deiner letzten Überlegung:

Ja das ist richtig. Bei dieser Aufgabe führen viele Wege nach Rom. Du könntest auch den Tipp von Ché Netzer befolgen und mittels der Differenzfunktion in den Grenzen 0 bis a integrieren und das Dreieck unterhalb der x-Achse später abschneiden.

Wenn du einen Latex-Code erstellen möchtest, dann kannst du später einfach den Code markieren und oben auf das f(x)-Symbol klicken, welches unter COLOR steht.

Der "/" gehört in die hintere Latex-Klammer [/latex]

Ein Integralszeichen erzeugst du mit \int

Zur Aufgabe:

Dein Ergebnis für h(x)=0 ist korrekt.

Wenn du nun nach deiner Methode vorgehen möchtest, so müsstest du folgendes berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^a \! g(x) \, dx -\int_{\frac{a}{2}}^a \! h(x) \, dx \end{eqnarray*}$

Wenn du nach meiner Methode vorgehen möchtest würde es so gehen:

$\begin{eqnarray*} \int_0^{\frac{a}{2}} \! g(x) \, dx -\int_{\frac{a}{2}}^a \! g(x)-h(x) \, dx \end{eqnarray*}$

21.09.2012, 18:07

Monkey101

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Ach jetzt geht das Editieren nicht mehr....

Ich meinte natürlich: IHR habt mir sehr geholfen smile

So Danke nochmal und schönen Abend noch Freude

21.09.2012, 18:08

Gast11022013

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Gern geschehen.

Schönen Abend.
Wink

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