Stetigkeit gegen Absolute Stetigkeit

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21.09.2012, 20:43	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit gegen Absolute Stetigkeit Hallo, könnte mir jemand den Unterschied von einer Funktion erklären, die nur stetig ist und einer Funktion die absolut stetig ist. Vielen lieben Dankl
21.09.2012, 20:54	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit gegen Absolute Stetigkeit Hallo, was für einen Unterschied willst du denn hören? Ein Beispiel? Da dürfte die Cantor-Funktion eines sein. Ansonsten: Absolutstetigkeit ist einfach eine stärkere Eigenschaft als Stetigkeit. Was möchtest du also hören bzw. was verstehst du nicht? mfg, Ché Netzer
21.09.2012, 21:16	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
@CheNetzer: einfach die Frage zurückzugeben, mit dem Hinweis, dass es stärker ist, bringt keinen Fortschritt. Nicht bei jeder Frage kann man dem Fragesteller etwas entlocken.
21.09.2012, 21:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, er kann zumindest sagen, ob er etwa nur ein Beispiel sehen will oder einige Eigenschaften, die absolut stetige Funktionen haben (stetige im allgemeinen aber nicht) etc.
21.09.2012, 21:23	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich denke, nach Letzterem hat er gefragt.
21.09.2012, 21:57	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Na dann nenne ich schonmal die wichtigste: Eine absolut stetige Funktion $\begin{eqnarray} f\colon[a,b]\to\mathbb R \end{eqnarray}$ ist fast überall differenzierbar. Das erfüllt die Cantor-Funktion zwar auch, aber es geht noch weiter: Für die fast überall definierte Funktion $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(t)=f(t_0)+\int_{t_0}^tf'(\tau)\mathrm d\tau \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t\in[a,b] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t_0\in[a,b] \end{eqnarray}$ . Oder auch anders aufgschrieben: $\begin{eqnarray} \int_{t_1}^{t_2}f'(\tau)\mathrm d\tau=f(t_2)-f(t_1)\,. \end{eqnarray}$ Das kann die Cantor-Funktion nicht mehr erfüllen, denn deren Ableitung ist fast überall Null. Das kann auch als äquivalente Definition verwendet werden, aber ich schätze, ihr habt die über die Summen von Beträgen verwendet. Soweit ich mich erinnere gibt es noch zwei weitere Eigenschaften, die aus einer stetigen Funktion eine absolut stetige machen. Eine stetige Funktion ist genau dann auch absolut stetig, wenn sie Nullmengen auf Nullmengen abbildet und außerdem von beschränkter Variation ist (falls die Variation nicht bekannt ist: Das ist sozusagen die Summe aller Änderungen der Funktionswerte, bei monotenen Funktionen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ also einfach $\begin{eqnarray} \lvert f(a)-f(b)\rvert \end{eqnarray}$ . Wenn man das Intervall in Teilintervalle $\begin{eqnarray} [a_n,b_n] \end{eqnarray}$ zerlegen kann, auf denen die Funktion monoton ist, dann ist es also die Summe aller $\begin{eqnarray} \lvert f(a_n)-f(b_n)\rvert \end{eqnarray}$ ). Absolut stetige Funktionen sind auch immer gleichmäßig stetig (auch auf unbeschränkten Intervallen). Damit kannst du dir recht viele Beispiele von Funktionen suchen, die stetig, aber nicht absolut stetig sind. Wäre damit die Frage geklärt?
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21.09.2012, 23:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr schön ! Ich hoffe der Fragesteller kann damit was anfangen. Ist theoretisch zwischen keiner Erklärung und deiner letzten post evtl. noch eine reduzierte Erklärung möglich, also ein noch handhabbares Kondensat, auch wenn das manchmal schwieriger als das Original zu formulieren ist ? ( Ich nehm' jetzt mal die Rolle von bibber ein, wenn er die posts liest, dann hat er 'eh keine Fragen mehr, nehm' ich jedenfalls an )
21.09.2012, 23:35	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du eine Art Zusammenfassung? Dann mal zuerst die "Hierarchie": Lipschitz-Stetigkeit > absolute Stetigkeit > gleichmäßige Stetigkeit > Stetigkeit Und: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist absolut stetig $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ ist fast überall definiert und es gilt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. auf beschränkten Intervallen: $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist absolut stetig $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist stetig, bildet Nullmengen auf Nullmengen ab und ist von beschränkter Variation (hierauf gebe ich keine Garantie) Etwas anschaulicher gesprochen: Absolut stetige Funktionen sind "fast differenzierbar", d.h. sie sind nicht nur fast überall differenzierbar, man kann die Ableitung auch mehr oder weniger wie eine normale behandeln. Sie unterscheiden sich (wenn die Äquivalenz so stimmt) auf beschränkten Intervallen von "nur stetigen" Funktionen dadurch, dass sie nicht auf Nullmengen wachsen/fallen und der Gesamtanstieg und -abfall endlich ist. Die beschränkte Variation kann man dann übrigens auch als $\begin{eqnarray} \int_a^b\lvert f'(x)\rvert\dx<\infty \end{eqnarray}$ ausdrücken. (Der Ausdruck entspricht dann der Variation) Auf der bei mir angegebenen Homepage findet sich übrigens noch eine DGL-Mitschrift, in der absolut stetige Funktionen auch schon auftreten. Demnächst werden noch die Sobolew-Räume ergänzt, da haben sie ja auch eine wichtige Rolle.
26.09.2012, 20:21	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, das hilft mir schon sehr viel. Vielen Dank! Was meinst du mit ist fast überall definiert?
26.09.2012, 21:17	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
"Fast überall" heißt "überall, bis auf eine Nullmenge". Absolutsteige Funktionen besitzen fast überall eine Ableitung, d.h. man kann diese Ableitungsfunktion fast überall auf dem Definitionsbereich der Funktion definieren. Z.B. Die Betragsfunktion auf $\begin{eqnarray} [-1,1] \end{eqnarray}$ . Die ist absolut stetig (sogar Lipschitz-stetig), deren Ableitung ist auf $\begin{eqnarray} [-1,1]\setminus\{0\} \end{eqnarray}$ definiert (fast überall, da $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ eine Nullmenge ist) und entspricht dort der Signum-Funktion.
26.09.2012, 21:45	bibber	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(t)=f(t_0)+\int_{t_0}^tf'(\tau)\mathrm d\tau \end{eqnarray}$ Diese Formel besagt ja nur, dass unsere Funktion [l] f(t) [/] sich aus dem Funktionswert von Punkt [l]t_0[l] + dem Integral ergibt richtig?
26.09.2012, 21:52	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass man sie so darstellen kann. Insbesondere sagt sie aber aus, dass die Funktion nicht nur fast überall differenzierbar ist, sondern auch dass diese Ableitung tatsächlich eine Art Steigung darstellt. Die Cantor-Funktion ist ja wie gesagt auch fast überall differenzierbar, deren Ableitung erfüllt diese Formel aber nicht.

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