Rechnen mit arith. Reihen

22.09.2012, 00:05

fermare

Rechnen mit arith. Reihen

Kann die Summe im weiteren als S bezeichnet, da ich das Zeichen nicht finde
S(1+2+...+a) +a - S(1+2+3....b) +b
wobei b<a wieder eine
S(1+2+...c)+c ergeben?

22.09.2012, 00:43

Kasen75

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Hallo,

der code für das Summenzeichen ist \sum

Des Weiteren setzte auch ausreichend Klammern. So wie die Aufgabe dasteht, kann man nicht wirklich wissen was gemeint ist.

Mit freundlichen Grüßen.

22.09.2012, 02:00

fermare

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Kann das SummenZeichen immer noch nicht finden. Ist beim Apple den ich neu habe wohl etwas anders
S(1+2+...+a) +a - S(1+2+3....b) +b = S(1+2+...c)+c
Wobei a,b,c klarerweise Natürliche Zahlen sind
mit Worten
Die arithmetische Reihe von 1bis a +a weniger die von1 bis b +b ergibt die von 1 bis c+c
Verzeih, besser weiß ich es noch nicht aus zu drücken.
Vielleicht kannst Du es mit dem richtigen Zeichen für die Summe versehen.

22.09.2012, 02:54

Kasen75

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Eigentlich brauchst du keine Taste für das Summenzeichen, sondern nur die Taste "backslash". Die sollte nicht unauffindbar sein.

$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum_{i=1}^a i \Bigg) +a - \Bigg( \sum_{i=1}^b i \Bigg) +b = \Bigg( \sum_{i=1}^c i \Bigg) +c \end{eqnarray*}$

Ist es so richtig? Beachte vor allem die Klammersetzung. Die Summenzeichen gelten hier nur für i. Das negative Vorzeichen gilt hier auch nur für die Summe in der Klammer.

Was einem bei diesem Ausdruck sofort ins Auge springt, ist die Anwendung der Gaußschen Summenformel.

Damit kann man schon einiges machen.

22.09.2012, 10:10

fermare

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Verzeih habe eine Klammer zu setzen vergesse es sollte heißen - b

Ja so denke ich auch, das es lösbar ist im Sinne

a(a+1) +a - b(b+1) -b= c(c+1) +c

a^2+2a - b^2-2b = c^2+2c

Ich denke , dass es nicht möglich ist,
doch hat das noch keine Aussagekraft ob denn c(c+1)+c
tatsächlich möglich ist.

Also zb.:

1+2+3+4+5+6+6 - 1+2+3+4+4 = 1+6+6 =11

1+2+3+3=9
1+2+3+4+4=14

Hab das &#8721 Summenzeichen; nun gefunden danke es ist nur nicht nach hier übertragbar muss wohl weiter suchen.!!

22.09.2012, 10:34

fermare

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oder also im Grunde ob die Summe von

S(b+2 bis a)+a+1 = S(1+..+c)+c

kann man das so sagen?

Worauf folgen würde

S(1 bis a)+a -S(1 bis b)-b = S(b+2 bis a) +a+1 = S(1 bis c)+c
S(1 bis a) - S(1 bis b) - b- 1= S(b+2 bis a)

22.09.2012, 16:28

fermare

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Ich versuche es einmal anders bitte um Nachsicht, sollte es nicht klappen
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (b+2+k) \Bigg) +a+1 = \Bigg( \sum_{i=1}^a i \Bigg) +a - \Bigg( \sum_{i=1}^b i \Bigg) +b = \Bigg( \sum_{i=1}^c i \Bigg) +c \end{eqnarray*}$
beschreibt dies
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (b+2+k) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$
nun die Menge von
$\begin{eqnarray*} \sum((b+2)+(b+3)+(b+4)...+a)+a+1 \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 18:23

Kasen75

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Hallo,

ich kann deine Rechnung bis hierhin nachvollziehen:

Zitat:

S(b+2 bis a)+a+1 = S(1+..+c)+c

Ich habe mir jedoch einen anderen Ansatz überlegt:

Da a > b , könnte man für b im Prinzip auch a-k schreiben. Mit k > 0

So stellt man zumindest schon einmal eine Verbindung zwischen a und b her.

So könnte man versuchen, die linke Seite der Gleichung (Aufgabenstellung) zusammenfassen.

Das wäre jetzt erstmal meine Idee.

22.09.2012, 20:25

fermare

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$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (a-k+2+k) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (a+2) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$
Da fällt dann k aus der Reihe heraus
Heißt das dann 2a+3 = (c^2+c)/2
(c^2 + c +6)/4 = a
1/4 c^2 + 1/4 c + 3/2 - a = 0
c= 2(-1/4+-Wurzel(1/16 - 3/4a))
c = -1/2 +-Wurzel(1/16 - 12/16a)
woraus folgt, dass c niemals N ist, da Wurzel(1/16 - 12/16a) immer die Wurzel aus einer negativen Zahl ist, da a >0?
Oder ist das eine falsche Weiterführung von
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (a+2) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$
verwirrt

Oder ist das der Beweis dafür, dass S(a)+a - S(b)-b niemals S(c)+c sein kann?

23.09.2012, 06:22

Kasen75

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Zitat:

Original von fermare
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (a-k+2+k) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$ =
$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum\limits_{k=1}^a (a+2) \Bigg) +a+1 \end{eqnarray*}$
Da fällt dann k aus der Reihe heraus
Heißt das dann 2a+3 = (c^2+c)/2

Ich denke nicht, dass die Auflösung des Summenzeichens stimmt. Ich würde möglichst am Anfang die Summenzeichen auflösen. Und wenn du was postest, dann poste die einzelnen Schritte und beschreibe möglichst präzise, was du gerechnet hast.
Vieles was du gepostest hast, sieht aus, als wäre es vom Himmel gefallen. In dem Fall kann ich dann wenig dazu sagen.
Aber gut, dass du schon mal teilweise in Latex postest.

Zitat:

Heißt das dann 2a+3 = (c^2+c)/2

Das sieht mir nicht danach aus, dass du die rechte Seite richtig aufgelöst hast.
Prüf das nochmal nach.

Mit freundlichen Grüßen.

23.09.2012, 15:50

fermare

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Meinst Du so

a(a+1)/ +a - b(b+1)/2 - b= c(c+1)/2 +c
a^2+a+ 2a - (a-k)(a-k+1) - 2a+2k = c(c+1) + 2c
a^2 + 3a - a^2 +2ak -k^2 - a + k - 2a + 2k = c(c+1) + 2c
2ak - k^2 - 3a - 3k = c^2 + 3c

23.09.2012, 16:07

fermare

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Hab mich glaube ich verrechnet
so sollte es stimmen

a(a+1)/2 + a - b(b+1)/2 - b= c(c+1)/2 +c
a^2+a+ 2a - (a-k)(a-k+1) - 2a+2k = c(c+1) + 2c
a^2 + 3a - a^2 +2ak - k^2 - a + k - 2a + 2k = c(c+1) + 2c
2ak - k^2 + 3k = c^2 + 3c

Da bleiben mir immer noch drei Unbekannte
Was ändert sich gegenüber der verwendung von b da auch b<a

23.09.2012, 16:18

fermare

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2ak - k^2 + 3k = c^2 + 3c

meinst Du
a = (c^2 + 3c +k^2 - 3k)/2k

das ganze wieder oben eingesetzt und weiter?
Habe ich da richtig gerechnet?

23.09.2012, 16:29

fermare

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Bitte um Kontrolle, denn das wird schier endlos. wenn ich da mit einem Fehler weiter rechne beiße ich mich in den ....

24.09.2012, 05:57

Kasen75

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Hallo fermare,

du bist ja hier von dieser Gleichung ausgegangen:

$\begin{eqnarray*} \Bigg( \sum_{i=1}^a i \Bigg) +a - \Bigg( \sum_{i=1}^b i \Bigg) -b = \Bigg( \sum_{i=1}^c i \Bigg) +c \end{eqnarray*}$

Da ist deine Lösung $\begin{eqnarray*} a = (c^2 + 3c +k^2 - 3k)/2k \end{eqnarray*}$ richtig. Freude

Umgeformt ergibt das:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{k}{2}-\frac{3}{2} + \frac{c^2+3c}{2k} \end{eqnarray*}$

Meine Argumentation ist folgende:

Wenn k eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist dieser Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2}-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ keine ganze Zahl.
Sondern eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$ . Um das auszugleichen, muss der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{c^2+3c}{2k} \end{eqnarray*}$ auch eine ganze Zahl $\begin{eqnarray*} \pm 0,5 \end{eqnarray*}$ ergeben.
D.h. der Ausdruck $\begin{eqnarray*} c^2+3c \end{eqnarray*}$ muss ungerade sein, da 2k immer gerade ist.
Ist das möglich?

Mit freundlichen Grüßen.

24.09.2012, 13:12

fermare

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Nun wenn c ungerade, dann ist auch c^2 ungerade und 3c erst recht. zwei ungerade addiert ergibt eine gerade, daher kann dieser Ausdruck nur gerade sein.

Eine gerade durch eine Gerade kann aber doch z.B
6/4 1,5 ergeben auch wenn dies nicht der Gleichung entspricht

c^2 + 3c = x
c^2 + 3c - x = 0

c= (-3 +-Wurzel(9-4x))/2

da x=1 und x=2 zu keinem ganzzahligem Ergebnis führt führen alle anderen x>3 zu einer Wurzel einer negativen Zahl. Das würde heißen c= -3+-i Wurzel Y wenn x>3
womit bewiesen wäre, dass es keine natürlichzahlige Lösung geben kann
oder?

24.09.2012, 15:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von fermare
Kann die Summe im weiteren als S bezeichnet, da ich das Zeichen nicht finde
S(1+2+...+a) +a - S(1+2+3....b) -b
wobei b<a wieder eine
S(1+2+...c)+c ergeben?

Nehmen wir nur mal den Spezialfall $\begin{eqnarray*} b=a-1 \end{eqnarray*}$ , dann steht links

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^a i + a - \sum_{i=1}^b i -b = a+1 \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man zu beliebigem (!) $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ rechts dann einfach über

$\begin{eqnarray*} a+1 = \sum_{i=1}^c i + c = \frac{c(c+3)}{2} \end{eqnarray*}$

ein zugehöriges $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (und damit auch ein $\begin{eqnarray*} b=a-1 \end{eqnarray*}$ ) angeben.

Einen Sinn in euren exzessiven Rechnungen kann ich eigentlich nur dann sehen, wenn es nicht nur darum geht, eine bzw. einige Lösungen dieser Gleichung zu finden, sondern alle. So war aber die ursprüngliche Frage nicht angelegt. Augenzwinkern

24.09.2012, 21:37

fermare

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Nun ganz so einfach ist es wohl doch nicht, denn nehmen wir beispielsweise
a= 5
so wäre
b=a-1=4
und
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^a i + a - \sum_{i=1}^b i -b \end{eqnarray*}$ .
würde ergeben
20-14=6
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^c i + c \end{eqnarray*}$ .
c=2 => 5
c=3 => 9
da ist zwar das Ergebnis ganzzahlig, nicht aber c um welches es geht.
c wäre in diesem Fall irgendwo zwischen 2 und 3
also in welchem Fall stimmt Deine Annahme, denn anders kann ich es noch nicht bezeichnen, da ich es mathematisch nicht nachvollziehen kann

24.09.2012, 21:41

HAL 9000

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Du verstehst nicht: Die Originalfrage war NICHT, ob es zu gegebenen a,b dann ein c mit dieser Eigenschaft gibt

SONDERN:

Ob es überhaupt a,b,c mit dieser Eigenschaft gibt - und die gibt es, ganz offenbar. Augenzwinkern

Falls du es anders meinst, dann stell doch bitte die Frage präziser.

24.09.2012, 22:14

fermare

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Bitte verzeih mein unpräzise Frage.
Aber genau so war sie gemeint, ob es ein
a,b natürliche Zahl gibt
die in der Gleichung eingesetzt
c eine natürliche Zahl ergeben?
Bitte verzeih Tausendmal.
Genau das aber glaube ich haben wir bewiesen, dass es nicht gibt.
Stimmst Du da zu, oder haben wir irgend wo einen Fehler?

24.09.2012, 22:23

Kasen75

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@HAL 9000

für ein spezielles k hast du natürlich recht. Deswegen vielen Dank für den Hinweis.

@fermare

Der Vorschlag von HAL 9000 zeigt, dass du richtig gerechnet hast. Setzt man für k=1 ein,
dann steht bei Dir:

$\begin{eqnarray*} a=\frac{k}{2}-\frac{3}{2} + \frac{c^2+3c}{2k} =\frac{1}{2}-\frac{3}{2} + \frac{c^2+3c}{2} \Rightarrow a+1 = \frac{c(c+3)}{2} \end{eqnarray*}$

Ob du jetzt erst die allgemeine Lösung errechnest (wie schon geschehen) und dann k=1 einsetzt oder so vorgehst wie Hal 90000 bleibt natürlich dir überlassen.

Man kann jetzt als Zusatz noch eine Lösung für k=2 angeben.

$\begin{eqnarray*} a=\frac{k}{2}-\frac{3}{2} + \frac{c^2+3c}{2k}=\frac{2}{2}-\frac{3}{2} + \frac{c^2+3c}{2\cdot 2} \Rightarrow c^2+3c-4a-2=0 \end{eqnarray*}$

Nimmt man die abc-Formel, dann steht unter der Diskriminanten:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9+16a+8}=\sqrt{1\cdot 17+16 \cdot a} \end{eqnarray*}$

Mit geübtem Auge sieht man, dass a=17 sein muss.

Jetzt kann man c ermitteln, indem man $\begin{eqnarray*} a=17 \end{eqnarray*}$ hier einsetzt: $\begin{eqnarray*} c^2+3c-4a-2=0 \end{eqnarray*}$

Noch zu deinem letzten Beitrag: Du musst erst c festlegen um eine konkrete Lösung zu errechnen. Bei k=1 (Formel von Hal) und c=4 erhältst du für a=13 und für b=12.

24.09.2012, 22:25

HAL 9000

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@fermare

Ja entschuldige, ich erkenne jetzt erst, dass Deutsch wohl nicht deine Muttersprache ist. Aber hier kommt es eben leider auf die Feinheit der Formulierung drauf an, und da gab es dann wohl Missverständnisse.

24.09.2012, 23:32

fermare

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Wenn ich nun diese Gleichung minimal verändere wird sich wahrscheinlich nicht viel ändern am Ergebnis
$\begin{eqnarray*} 6*\Bigg( \sum_{i=1}^a i \Bigg) +a - 6*\Bigg( \sum_{i=1}^b i \Bigg) +b = 6*\Bigg( \sum_{i=1}^c i \Bigg) +c \end{eqnarray*}$
es wird immer noch natürliche a,b,c geben oder?
Ist es dann richtig zu sagen
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^a i - \sum_{i=1}^b i = a+1-a/6 +b/6 \end{eqnarray*}$ .
Nein kann nicht sein.
Jetzt habt ihr mich ein wenig überrascht und da druch aus der Bahn geworfen.

25.09.2012, 05:28

Kasen75

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Hallo fermare,

gehe doch so vor wie letztes Mal und löse den Term über die Gaussche Summenformel auf. Setze nur diesmal gleich k=1. Dann bekommst du einen quadratischen Term. Die entsprechenden Parameter setzte in die abc-Formel (Mitternachtsformel) ein. Dann musst du noch das a ermitteln bei der der Ausdruck unter der Diskriminante ein Quadrat einer ganzen Zahl ist (notwendige Bedingung). Letztendlich muss natürlich c eine ganze Zahl sein. Also der Wert der sich durch die Formel ergibt (hinreichende Bedingung).
So bin ich zumindest zu einem Ergebnis gekommen.
Deine Umformung ist nicht richtig. Dein Rechenweg ist auch nicht nachvollziehbar. Das war wohl eher ein Schuss ins Blaue von Dir.

Mit freundlichen Grüßen.

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