Ableitung bestimmen

22.09.2012, 00:58

fleurita

Ableitung bestimmen

Meine Frage:
hey, ich weiß was ihr jetz vllt denkt: warum ist die samstag um 1 uhr nacht am mathe lernen und nicht sich irgwo amüsieren gehen smile

.

Ich hock an folgener aufgabe: bestimme $\begin{eqnarray*} \arctan'{x} \end{eqnarray*}$ Hinweis: leite $\begin{eqnarray*} \arctan{(\tan{x})}=x \end{eqnarray*}$ beidseitig ab.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \arctan{(\tan{x})}=x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow\ \arctan'{(\tan{x})}\cdot \frac{1}{\cos^2{x}}=1 \iff \arctan'{(\tan{x})}=\cos^2{x} \end{eqnarray*}$ ... ich komm einfach nicht drauf.

22.09.2012, 01:08

Guppi12

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Ich finde den Hinweis nicht so toll.
Probiers mal so:
Hinweis: leite $\begin{eqnarray*} tan(arctan(x)) = x \end{eqnarray*}$ beidseitig ab. (Und verwende tan'(x) = 1+tan^2(x), nicht das mit dem cos Augenzwinkern

)

Lg

Edit: Helferlein hat natürlich recht, hab ein bisschen zu schnell den Hinweis für schlecht befunden.

22.09.2012, 01:15

Helferlein

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Mit diesem Tip:

Zitat:

Und verwende tan'(x) = 1+tan^2(x),

kann man auch den Hinweis direkt einsetzen. fleurita muss nur ihre Ableitung anpassen und dann substituieren.

22.09.2012, 01:30

fleurita

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mir fallen ständig die augen zu.... ich meld mich morgen wieder. Vielen dank aber schonmal!

22.09.2012, 10:46

fleurita

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hey! Habs nochmal probiert und hinbekommen, bin aber mit meinem rechenweg nit ganz zufrieden:

$\begin{eqnarray*} \arctan'{(\tan{x})}=\frac{1}{\tan^2{x}+1} \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} \arctan'{(y)}=\frac{1}{y^2+1} \end{eqnarray*}$

aber bedeutet das nicht, dass dann $\begin{eqnarray*} \arctan'{\big(g(x)\big)} \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{g^2(x)+1} \end{eqnarray*}$ ist für jede beliebige funktion, die ich für g einsetze $\begin{eqnarray*} \big(e^x,\ \sinh^{3}{x},\ e^{\cot{\left(-x^2\right)}},\ \cdots \big) \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2012, 10:57

Alive-and-well

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ja das Stimmt, ABER du darfst hier $\begin{eqnarray*} arctan'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (arctan(x))' \end{eqnarray*}$ nicht miteinander durcheinander bringen!

$\begin{eqnarray*} arctan'(x) \end{eqnarray*}$ Hier wird NUR der arctan abgeleitet und NICHT nachdifferenziert!

$\begin{eqnarray*} (arctan(x))' \end{eqnarray*}$ Hier würde die KettenRegel zuschlagen!

22.09.2012, 11:41

fleurita

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danke.

Also müsste ich es besser so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \big(\arctan{(\tan{x})}\big)'=1 \iff \arctan'{(\tan{x})}(\tan^2{x}+1)=1 \iff \arctan'{(\tan{x})}=\frac{1}{\tan^2{x}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \arctan'{x}=\frac{1}{x^2+1}=(\arctan{x})' \end{eqnarray*}$ , weil der nachdifferenzierte faktor das produkt nicht verändert? Stimmt das so?

Dann stimm auch das so, oder:

$\begin{eqnarray*} \arctan'{\big(g(x)\big)}=\frac{1}{g^2(x)+1} \end{eqnarray*}$ , aber im allgemeinen $\begin{eqnarray*} \left(\arctan{\big(g(x)\big)}\right)'\neq\frac{1}{g^2(x)+1} \end{eqnarray*}$ ?

22.09.2012, 12:39

Alive-and-well

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Zitat:

Original von fleurita
danke.

Also müsste ich es besser so schreiben?

$\begin{eqnarray*} \big(\arctan{(\tan{x})}\big)'=1 \iff \arctan'{(\tan{x})}(\tan^2{x}+1)=1 \iff \arctan'{(\tan{x})}=\frac{1}{\tan^2{x}+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \arctan'{x}=\frac{1}{x^2+1}=(\arctan{x})' \end{eqnarray*}$ , weil der nachdifferenzierte faktor das produkt nicht verändert? Stimmt das so?
?

Hier würde es vllt. etwas eindeutiger sein, wenn du bei der Subsitution was anderes als x nimmst da du x ja schon vorher hattest.

damit wärst du fertig (meiner Meinugn anch Augenzwinkern

)

deine letzte Schlussfolgerung stimmt auch

22.09.2012, 12:45

Che Netzer

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Als Schlussbemerkung:

Zitat:

Original von fleurita
aber im allgemeinen $\begin{eqnarray*} \left(\arctan{\big(g(x)\big)}\right)'\neq\frac{1}{g^2(x)+1} \end{eqnarray*}$ ?

Du kannst sogar noch bestimmen, wann genau (für welche $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ) diese Gleichung doch gilt.

22.09.2012, 13:20

Cheftheoretiker

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Also ich kenne es eigentlich nur folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} y=arctan(x) \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} x=tan(y) \end{eqnarray*}$

Nun implizit ableiten:

$\begin{eqnarray*} 1=sec^2(y)\cdot y' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{sec^2(y)} \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir uns $\begin{eqnarray*} x=tan(y) \end{eqnarray*}$ an und wissen ja das der $\begin{eqnarray*} tan=\frac{GK}{AK} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Also, $\begin{eqnarray*} AK^2+GK^2=H^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} GK=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} AK=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1^2+x^2=H^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H=\sqrt{1+x^2} \end{eqnarray*}$

Nun ist der sec definiert als: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{cos} \end{eqnarray*}$ also, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\frac{AK}{H}}=\frac{H}{AK}=\frac{\sqrt{1+x^2}}{1} \end{eqnarray*}$ da wir $\begin{eqnarray*} sec^2 \end{eqnarray*}$ haben, erhalten wir $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{sec^2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt erhalten wir die Ableitung $\begin{eqnarray*} y'=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 13:33

Che Netzer

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Das wäre mir zu geometrisch Augenzwinkern

Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse müssten auch irgendwo herkommen.
Wie willst du die auch ausmessen, wenn du z.B. $\begin{eqnarray*} \sin\left(\tfrac\pi6\right) \end{eqnarray*}$ berechnen möchtest?

Ich bevorzuge da die Definition über Potenzreihen und $\begin{eqnarray*} \tan:=\frac\sin\cos \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} \sec^2=\frac1{\cos^2}=\frac{\sin^2+\cos^2}{\cos^2}=\tan^2+1 \end{eqnarray*}$ kannst du deine implizite Ableitung dann auch umformen.

22.09.2012, 21:28

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y=arctan(x) \Leftrightarrow x= tan(y) \end{eqnarray*}$

und mit dem Satz über Ableitung der Umkehrfunktionen:

$\begin{eqnarray*} \frac {dy}{dx}= \frac 1 { \frac {dx}{dy} }= (cos (y))^2 \end{eqnarray*}$

und nun noch $\begin{eqnarray*} (\cos(\arctan(x)))^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen .

So kann ich es mir am besten merken.

23.09.2012, 15:34

fleurita

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da hab ich ein intressantes thema gestartet smile

an Alive-and-well:
das stimmt. Mit dem x ist es für gewohnter.

an hangman:
ich lern das für die mündliche in analysis. Glaub der prof ist nicht so zurfrieden, wenn ich mich da ewig dran aufhäng smile

an Che Netzer:
für alle funktionen der from $\begin{eqnarray*} g(x)=x+c \end{eqnarray*}$ oder?

an Dopap:
den beweis zu dem satz hab ich noch nicht gelernt, deshalb wollt ich den nicht anwenden.

23.09.2012, 15:44

Che Netzer

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Zitat:

Original von fleurita
für alle funktionen der from $\begin{eqnarray*} g(x)=x+c \end{eqnarray*}$ oder?

Ja, genau