Senkrechte einer Tangente berechnen

22.09.2012, 09:38

Whisky

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Senkrechte einer Tangente berechnen

Guten Morgen, Wink

Wink

Aufgabe: Für welche Werte von x haben die Graphen von f und g mit f(x)= 2x²-x+3 und g(x)=-x² zu einer senkrechten Tangenten.

Ansatz:
Ableitungen bilden:
f(x)= 2x²-x+3

f'(x)= $\begin{eqnarray*} 2\cdot \end{eqnarray*}$ 2x

g(x)=-x²

g'(x)=-2x

Ableitungen gleichsetzen und x berechnen:

x= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Steigung berrechnen- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ für x in die Ableitung setzen, um die Steigung zu berechnen.

f'( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ )=4 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
f'(x)= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$

g'(x)=-2 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$
g'(x)=- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht so recht weiter!

Ich erinnere mich das die Formel einer Senkrechte m1 $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ m2=-1 lautet!
Aber was fange ich damit an?

Nehme ich Steigung von f'(x) z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ =-1 | + $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$
m2 =- $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

wäre ja das selbe, wie g'(x).
Stehen die in Verbindung oder is es zufall?

ich weiß nicht so recht weiter... verwirrt

verwirrt

kann mir jemand einen schubs geben?

Gruß

22.09.2012, 15:33

Equester

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Du gehst gleichzeitig richtig wie falsch an die Aufgabe ran.

Richtig ist die Bildung der Ableitung wie auch die Formel m1*m2=-1.

Falsch ist jedoch die Bildung der Ableitung von f(x), wie auch das gleichsetzen von
f'(x) mit g'(x).
Da überprüfst du nur, wann diese dieselbe Ableitung haben.

Überlege dir, was m1 und m2 sind...setze dies ein und errechne x.
Bedenke: Die Ableitung gibt die Steigung in einem Punkt an Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

23.09.2012, 09:57

Whisky

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Hi Equester Wink

Wink

,

vielen Dank für deine Hilfe!
Korrektur der Aufgabenstellung : Für welche Werte von x haben die Graphen von f und g mit f(x)= 2x²-x+3 g(x)=-x² zueinander senkrechten Tangenten.

Korrektur Ableitung: Ableitungen bilden:
f(x)= 2x²-x+3

f ' (x)=4x-1

Das Problem ist eigentlich, dass ich gar nicht so richtig weiß, was die Aufgabe von mir möchte.
Bei einem bestimmten x wert stehen die Tangenten beider Graphen senkrecht zu einander, und ich muss heraus bekommen welcher x wert das ist!?

Wenn das so wäre, dann wüsste ich nicht, wie ich das ohne angaben eines Punktes machen soll.
ich bräuchte doch eine Punkt, oder zumindestens ein x wert oder y wert!? verwirrt

verwirrt

Wenn ich
f ' (x)=4x-1
Nullsetze und dann nach x auflöse, müsste ich doch die Steigung von f(x) haben oder?
also f'(x)=0 : 4x-1=0 |+1|:4
x=1/4

Diese jetzt in ausgangsfunktion einsetzen, um x herauszubekommen?

23.09.2012, 21:25

Equester

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Hi Whisky,

Ja, die Ableitung ist nun richtig.

Zitat:

Bei einem bestimmten x wert stehen die Tangenten beider Graphen senkrecht zu einander,
und ich muss heraus bekommen welcher x wert das ist!?

Genau. Du hast ja an jedem Punkt eine Tangente. Wir suchen aber eine spezielle
Kombination -> Die Tangenten der beiden Kurven müssen sich nicht nur schneiden,
sie müssen senkrecht zueinander sein.

Dafür hast du schon richtig m1*m2=-1 ins Spiel gebracht.
Spinne den Faden hier weiter Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Die Ableitung schlicht 0 zu setzen hat für uns keinen Wert. Mehr als ein Extrema
(oder bei Funktionen höherer Ordnung auch Sattelpunkt) bestimmst du hier nicht.

24.09.2012, 14:57

Whisky

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Hi,

ich komme einfach nicht drauf!

ich könnte beide Ableitungen gleichsetzen, um ein gemeisamen schnittpunkt zu ermiteln, daraus die Tangentengleichung ermitteln und in jeweils beiden eine Steigung eingeben die zusammen multipliziert -1 ergeben würde!? verwirrt

verwirrt

Die - 1 muss doch auch eine Bedeutung haben? verwirrt

verwirrt

24.09.2012, 15:13

Equester

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Wenn du die Ableitungen gleichsetzt erhälst du die Stellen, wo die Ableitungen gleich sind :P.

Die Ableitung einer Funktion gibt doch die Steigung an einer Stelle an.
Nimm also die Ableitung f'(x) als m1 und g'(x) als m2.
Diese beide müssen die Bedingung m1*m2=-1 erfüllen -> Die Steigungen schneiden
sich also im rechten Winkel...und damit sind die Tangenten orthogonal zueinander smile

smile

.

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24.09.2012, 18:00

Whisky

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Zitat:

Wenn du die Ableitungen gleichsetzt erhälst du die Stellen, wo die Ableitungen gleich sind :P.

Wenn ich die Ableitungen gleichsetze und nach x auflösse, erhalte ich dann nicht den Schnittpunkt beider Ableitungen?

Zitat:

Die Ableitung einer Funktion gibt doch die Steigung an einer Stelle an.

Ok! Ich weiß! Aber ich kann damit trotzdem nichts anfangen!

also nochmal! ich soll von f(x) Und g(x) tangenten Bilden, die senkrecht zu einenader sind!
Mit der ableitung habe ich die Steigung der Tangenten. Ohne den x wert, oder den y-wert weiß ich damit leider nichts anzufangen.

Hätte ich (x/y) oder (x/f(x) wüsste ich, wie ich eine tangente zu ermitteln hätte.

Ohne dies Anhaltspunkte, weiß ich nicht weiter!
deswegen habe ich gedacht, ich setze beide gleich, und hätte die wenigstens den schittpunkt!

also -2x=4x-1|-4x

-6x=-1 |/(-6)
x= 1/6

(1/6 in die ableitung einsetzen, damit ich die Steigung erhalte)

an dieser Stelle müsste sich ja die beiden Ableitungen schneiden!!!

y wäre -1/3=-

somit hätte ich t : -1/3=-1/3*1/6+c

dann nach c auflösen etc.

dann -1/3*m2=-1

nach m2 auflösen ( 3/1) und voilà die Senkrechte ... t : -1/3=3/1*1/6+c

ja , ich weiß! Aber lass mich doch kurz träumen! LOL Hammer

LOL Hammer

24.09.2012, 18:09

Equester

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Zitat:

Wenn ich die Ableitungen gleichsetze und nach x auflösse,
erhalte ich dann nicht den Schnittpunkt beider Ableitungen?

Ja, du musst aber auch überlegen, was das bedeutet Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Ich hatte dir den Weg doch schon gepostet verwirrt

verwirrt

.

Zitat:

Original von Equester
Die Ableitung einer Funktion gibt doch die Steigung an einer Stelle an.
Nimm also die Ableitung f'(x) als m1 und g'(x) als m2.
Diese beide müssen die Bedingung m1*m2=-1 erfüllen -> Die Steigungen schneiden
sich also im rechten Winkel...und damit sind die Tangenten orthogonal zueinander smile

smile

.

Versuche das nochmals nachzuvollziehen.

27.09.2012, 14:49

Whisky

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Entschuldige, dass ich jetzt erst antworte, aber ich war (/bin noch) Krank !

also

-2x * 4x-1=-1 und dann nach x auflösen?

Gruß

27.09.2012, 14:57

Equester

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-2x *(4x-1)=-1

Abgesehen von der Klammersetzung, ja.

27.09.2012, 18:15

Whisky

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THX

Freude

-2x *(4x-1)=-1
-6x=-1 |:6

ergibt bei mir gleich x=-1/6

dass kann ja aber nicht sein, weil -6*(-1/6)=1 sind unglücklich

unglücklich

27.09.2012, 18:16

Equester

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-2x *(4x-1)=-1

Mehr hab ich nicht gesehen geschockt

geschockt

. Probiers erneut Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

27.09.2012, 19:15

Whisky

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LOL Hammer

wie kann man nur so mathe gestört sein, wie ich! unglücklich

unglücklich

Hmpf

-2x *(4x-1)=-1

-8x+2x=-1|/8
-6x=-1 /6
x=-1/6 kewine Ahnung wo mein Fehler ist! Vllt. kann ich die -1 nicht mit -2x multiplizieren

-2x *(4x-1)=-1
-8x-1=-1

ist aber auch Banane Finger1

Finger1

27.09.2012, 19:24

Equester

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Das ist immerhin schon besser :P.

Was ist denn (-2x)*(4x)?
Oder noch gezielter gefragt: x*x? Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.09.2012, 21:45

Whisky

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jetzt Fällst der Groschen! Oh man 6 wochen Sommerferien und alles, das wenige Wissen, welches ich besaß, ist weg!

klar!

x*x = x²

-8x²-1=-1

rein theoretisch würe ich auf Pq formel tippen, die mir auch geläufig ist, die hatten wir aber nur bei nullstellen!
kann, soll ich sie auch hier anwenden? oder liege ich falsch! ich glaube es gibt bei x² auch die möglichkeit einfach die Wurzel zu ziehen?

wäre aber trotzem banane weil -> -8x²-1=-1|+1

-8x²=0 wären, dann wäre x= 0 verwirrt

verwirrt

27.09.2012, 21:48

Equester

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Das ist nun ein weiterer Schritt in die richtige Richtung. Aber ich sollte unbedingt
dafür Sorgen, dass ich Kanzler werd und die 6 Wochen auf 6 Tage minimiere.

Der Teil ist zumindest richtig:

Zitat:

wäre aber trotzem banane weil -> -8x²-1=-1|+1

-8x²=0 wären, dann wäre x= 0

Aber:
-2x *(4x-1)=-1
-8x²+2x=-1

Und da brauchts in der Tat die pq-Formel. Bevor du diese aber anwenden kannst,
brauchts noch ne kleine Modifikation...

Edit: Es wäre schön wenn du mal 10 Minuten ab Stück hier bist.
Ich hab die Aufgabe schon 2 mal in Papierkorb geworfen wegen fehlendem Interesse
und darf mich jedes Mal neu einarbeiten...auch dir sollten dann obige Grundlagenfehler
nicht mehr passieren.

27.09.2012, 22:53

Whisky

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ja tut mir leid, meistens bin ich das ja auch, aber mahcnmal ist es stressig neben arbeit und Schule, und dann war ich krank und kränkel noch etwas! Tut mir leid, ich werde versuchen es zu vermeiden, nur etwas reinzusetzen und dann off zu gehen! Es ist aber auch oft so, dass man nicht gleichzeitig on ist smile

smile

-8x²+2x=-1

ok ich muss die 8 weg bekommen, und teile alles mit -8

-8x²+2x=-1 |/(-8)
x²-0,25x=1/8

0,25/2 $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{0,25/2}² \end{eqnarray*}$
1/8 $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{0,25/2}² \end{eqnarray*}$
1/8 $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{1/64} \end{eqnarray*}$

x= $\begin{eqnarray*} \pm \end{eqnarray*}$ 1/8

?

27.09.2012, 22:57

Equester

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Die pq-Formel kann angewendet werden auf:
x²+px+q=0

Da hast du wohl Probleme mit dem 1/8 gehabt. Bring das erst auf die andere Seite.
Du hast dann am Ende:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{1}{8}\pm\sqrt{\frac{9}{64}} \end{eqnarray*}$

Das löse noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

27.09.2012, 23:13

Whisky

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Zitat:

Original von Equester
Die pq-Formel kann angewendet werden auf:
x²+px+q=0

Da hast du wohl Probleme mit dem 1/8 gehabt. Bring das erst auf die andere Seite.
Du hast dann am Ende:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{1}{8}\pm\sqrt{\frac{9}{64}} \end{eqnarray*}$

Das löse noch Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=\frac{1}{8}\pm \end{eqnarray*}$ ~ 1/2
x1= -3/8
x2=5/8

?

27.09.2012, 23:16

Equester

Auf diesen Beitrag antworten »

Na komm

Big Laugh

. 9 und 64 sind beides Quadratzahlen...

27.09.2012, 23:29

Whisky

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LOL Hammer

mach dich mal über mich lustig! Rock

Rock

ja 3*3 und 8*8 ich habe aber keine Ahnung, was mir das bringt.Wenn ich 9/64 durc meine gtr jage, um die Wurzel zu ziehen, dann bekomme ich (aufgerundet) 0,52 raus unglücklich

unglücklich

27.09.2012, 23:33

Whisky

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ich gehe jetzt schlafen! Bin aber ab morgen Früh wieder dran!

Gute nacht und danke für deine Hilfe Wink

Wink

27.09.2012, 23:34

Equester

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Ich mach mich über niemand lustig. Das war nur ein freundschaftlicher Klapps zum
Nachdenken anregen^^.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9}=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{64}=8 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{9}{64}}=\frac{3}{8} \end{eqnarray*}$

ok? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Geht klar.
Bis dann und gute Nacht

Wink

Wink

28.09.2012, 12:28

Whisky

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Guten Morgen! Wink

Wink

Zitat:

Ich mach mich über niemand lustig. Das war nur ein freundschaftlicher Klapps zum Nachdenken anregen^^.

Ich weiß doch smile

smile

Also dann habe ich,
$\begin{eqnarray*} x_{1,2} =\frac{1}{8} \pm \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$
x_{1}= - 1/24
x_{2}=1/2

Jetzt weiß ich allerdings nicht mehr weiter!

was ist x_{1,2}, was stellt es dar?
Die Steigungen können es nicht sein, wenn ich beide aber Mullipliziere habe ich nicht -1 raus, obwohl ich es aus m1*m2=-1 ermittelt habe verwirrt

verwirrt

Für eine Tangente brauche ich t: y=mx+c

habe ich jetzt zwei x werte, zu denen ich ein y wert berechnen muss?
gebe den x wert in die Ableitung ein, um m zu bekommen und löse nach c auf?

28.09.2012, 12:38

Equester

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$\begin{eqnarray*} x_{1,2} =\frac{1}{8} \pm \frac{3}{8} \end{eqnarray*}$
x_{1}= - 1/4
x_{2}=1/2

Mehr brauchen wir nicht zu machen, was die Aufgabenstellung angeht Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Wir haben damit herausgefunden, bei welchen Stellen (also x-Werten) unsere
Tangenten sich iwo senkrecht schneiden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Hier kannst du das mal in etwa abgleichen. Gehe zur Stelle x und lege bei
den Funktionen je eine Tangente an. Sie sollten sich dann senkrecht schneiden.

Du kannst natürlich (über die Aufgabe hinaus) die Tangenten selbst bestimmen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

28.09.2012, 12:54

Whisky

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OK! ich habe die ganze zeit geglaubt, ich müsste 2 Tangentengleichungen ermitteln, die Senkrecht zu einander sind smile

smile

Ich danke dir sehr für deine Unterstützung, und wie immer, für deine super Gedult mit mir Big Laugh

Big Laugh

Freude

Gruß

Wink

28.09.2012, 13:06

Equester

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Ja, das wäre die Aufgabe sinnvoll zum Abschluss gebracht.
Allerdings ist das ja nichts mehr besonderes: Einfach die Steigung nehmen, den Punkt
nehmen und schon hat man die Tangente Augenzwinkern

Augenzwinkern

.
Schwieriger war die Bedinung der Orthogonalität aufzustellen, was hier wohl der Hauptzweck war.

Gerne smile

smile

,

Wink

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