Beweis - Parabelsegment = 2/3*parallelogramm

22.09.2012, 14:09

Juger123

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Beweis - Parabelsegment = 2/3*parallelogramm

Hallo!
Ich sitze zur Zeit an der Aufgabe zu beweisen, dass: Der Flächeninhalt des Parabelsegments sich zum Flächeninhalt des Parallelogramms wie 2 zu 3 verhält. Die Sekante des Parabelsegments schneidet 2 beliebige Punkte und das Parallelogramm wird von der Sekante und ihrer Tangente gebildet.
Sekante und Tangente sind also Paralell.
Ich meine zu Wissen wie ich vorgehen muss um den beweis zu stellen, hänge allerdings in der Rechnung (ich muss ihn ohne das einsetzen von zahlen lösen).

Die Parabel ist übrigens eine Normalparabel, also f(x)=x²

1. Skizzieren, Schnittpunkte der Sekante wählen. (Da es eine arabel ist sind die schnittpunkte in meinem fall jeweils (a/a²) und (b/b²)

2. Steigung der Sekante errechnen. Mit hilfe eines Steigungsdreiecks und b²-a² / b-a kam ich hier, mithilfe der 3 binomischen formel auf (b+a).

3. Sekantengleichung ermitteln. Einfach die steigung und 1 punkt eingesetzt. s(x)= (b+a)x -ab

4. Tangentengleichung ermitteln. Da die Steigung ja gleich der der Sekante ist habe ich diese in die 1 Ableitung von f(x)=x² eingesetzt und kam so auf den x punkt. Danach den x punkt hoch 2 für den y punkt, und alle einsetzen. t(x)= (b+a)x +2(b+a)²

5. A vom Parallelogramm = g*h.
g mithilfe von phytagoras = b²-a²+b-a.
für h hab ich die beiden y achsenabschnitte voneinander abgezogen, also : -ba - 2(b+a)²

6. jetzt müsste ich ja beweisen, dass 2/3 * g* h = dem integral von a-b von s(x)-f(x) ist, allerdings komm ich hier jetzt irgendwie nicht so ganz weiter.

Wäre nett wenn das evtl mal jmd mit mehr übung proberechnen könnte, bzw mal gucken könnte ob der ansatz überhaupt stimmt^^

mfg

22.09.2012, 14:30

mYthos

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Du musst die Ausgangssituation besser formulieren.
So wie das jetzt da steht, ist das unverständlich, zumindest für mich.

Welche Tangente einer Sekante (!) ist gemeint? Um welches Parallelogramm handelt es sich?

mY+

22.09.2012, 14:37

Juger123

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Sorry!
Also die Sekante liegt in etwa so an der Parabel:

Edit (mY+): Link entfernt, Grafik angehängt.

[attach]25947[/attach]

Und die Tangente schneidet die Parabel in dem Punkt der parallel zur Sekante ist, so dass beide Geraden parallel laufen. Das ganze halt in einem unbestimmten koordinatensystem.

22.09.2012, 15:16

Juger123

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Habe mal die genaue Aufgabenstellung rausgekramt, so sollte es am übersichtlichsten sein:

Edit (mY+): Bitte NUR den relevanten Bildausschnitt nehmen und direkt an den Beitrag anhängen! Links zu externen Uploadseiten werden nicht akzeptiert und daher entfernt. Darf das Bild ein bisschen schärfer sein?

[attach]25946[/attach]

22.09.2012, 15:35

Juger123

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Habe das Blatt leider nichtmehr, hatte nur das Bild noch auf meinem Handy. Falls es nicht ersichtlich ist kann ich aber, falls gewünscht, den Graph nochmal in groß skizzieren und hier hochladen.

22.09.2012, 15:54

mYthos

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Gut, jetzt sieht man, worum es sich handelt.
Für die Fläche des Parabelsegmentes kannst du die allgemeine Formel verwenden:

$\begin{eqnarray*} A_{\text{PS}} = \frac{(x_2 - x_1)^3}{6} \end{eqnarray*}$

Diese ergibt sich als Differenz der Fläche des Trapezes (von x1 bis x2) und der durch Integration der Parabelfunktion $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ ebenfalls in den Grenzen von x1 und x2 erhaltenen Fläche.

mY+

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22.09.2012, 16:03

Juger123

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Okay, macht Sinn!
Aber ich müsste doch theoretisch über meinen Ansatz ( Integral von x1 bis x2 von der sekante minus der parabel) auf dasselbe Ergebnis kommen?

Ich probiere es aufjedenfall erstmal so.

Stimmt den mein Ansatz für die Seiten des Parallelogramms?

g über pythagoras
h über die differenz der beiden y achsenabschnitte

Edit. Ich versuche gerade die Formel rechnerisch nachzuvollziehen, komme aber irgendwie nicht ganz auf das Ergebnis.

Das Trapez müsste ich ja durch 0.5*(a²+b²)*(b-a) bestimmen können, aber ich komme wenn ich das per hand rechne immer auf ganz komische Ergebnisse, dasselbe Problem hatte ich mit meinem Ansatz.
Bsp. a²b-a³+b³-b²a / 2

Missachte ich hier irgendeine Rechenregel, oder wie kommt das zustande, bin leider ein wenig ratlos gerade verwirrt

verwirrt

22.09.2012, 16:36

mYthos

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Steigung der Sekante: richtig
Sekantengleichung: richtig

Die Gleichung der Tangente stimmt nicht, die Steigung zwar, aber nicht das konstante Glied 2(b + a)²; es müsste 1/4 des Quadrates werden.
__________________

Das Trapez hat die Fläche (1/2)(b - a)(b² + a²), die Fläche unter der Parabel (mit der x-Achse) ist (1/3)(b³ - a³).

So, nun rechne das mal weiter und du kriegst die von mir angegebene Formel.

mY+

22.09.2012, 16:57

Juger123

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Wenn ich (b-a)*(b²+a²) rechne, dann erhalte ich doch noch -a²b und b²a, die bekomme ich doch durch die subtraktion von 1/3(b³-a³) nicht weg oder?

Und welches Quadrat meinst du, im bezug auf den y-achsenabschnitt der tangente?

22.09.2012, 17:29

mYthos

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Ja, der Abschnitt auf der y-Aches, das konstante Glied der Tangentengleichung, es lautet aber

$\begin{eqnarray*} - \frac {(a + b)^2} 4 \end{eqnarray*}$

bei richtiger Rechnung. Beachte das Vorzeichen, dieses hat bei dir auch nicht gestimmt.
_____________

Zum Parabelsegment:
Du sollst danach trachten, immer nach (b - a) zu faktorisieren (auszuklammern), also NICHT damit multiplizieren!
Nach Anwendung der binomischen Formel ist ja dann der restliche Faktor a² + ab + b² und der lässt sich dann ganz gut mit dem Rest vereinigen.
Also so geht das:

Es ist die Differenz der Trapezfläche und der Parabelfläche mit der x-Achse:

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 2 (b - a)(b^2 + a^2) - \frac 1 3 (b^3 - a^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)[3 (b^2 + a^2) - 2(b^3 - a^3)] \end{eqnarray*}$

Jetzt wird (b - a) ausgeklammert, in der Klammer muss nach Reduktion aller Summanden genau das Quadrat von (b - a) stehenbleiben.
________________

Wenn das nun alles richtig ist, geht's an die Differenz, also die kleine senkrechte Seite des Parallelogrammes.
Wir nennen diese d und die Fläche des Parallelogrammes ist dann einfach d(b - a), klar? Für d musst du bekommen:

$\begin{eqnarray*} d = \frac 1 4 (b - a)^2 \end{eqnarray*}$

Und dann bist du ja schon so gut wie fertig Big Laugh

Big Laugh

mY+

22.09.2012, 18:17

Juger123

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Ich verstehe um ehrlich zu sein immer noch nicht so 100% wie genau du das (b-a) bei der rechnung zum parabelsegment ausgeklammert hast.
Wie kommst du von 1/2 (b-a)(b²+a²) auf 1/6(b-a)[3(b-a)(b²+a²). die 3 sind mir schlüssig, aber woher nimmst du die zweite (b-a) klammer?

22.09.2012, 18:45

Juger123

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Auch den achsenabschnitt der Tangente kann ich nicht so ganz nachvollziehen.

Ich habe ja die Steigung (a+b)
Dann nehme ich die 1 Ableitung von f(x)=x² und setze die Steigung ein, um die Xo zu erhalten.
Dann kommt raus f(a+b)=2(a+b)
2(a+b) quadriere ich dann für den y punkt, und setze das alles ein, dann habe ich:
4(a+b)²=2(a+b)(a+b) + b
4(a+b)²=2(a+b)² + b | -2(a+b)²
2(a+b)²= b

Was genau mache ich falsch?

22.09.2012, 19:05

Juger123

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Okay, das mit der tangente hat sich erledigt! ich bin ein idiot!
Bin jetzt auf das selbe ergebnis gekommen wie du!
mannomann-.- wenn man den ganzen tag vor zahlen sitzt wird man ganz schön matsch im kopf

22.09.2012, 20:43

mYthos

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Gut, hast du jetzt den Beweis vollständig, also auch den Flächeninhalt des Parallelogrammes? Oder wo gibt's noch Probleme?

mY+

22.09.2012, 21:02

Juger123

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Hab alles vollständig bis auf die Umformung von 1/2(a²+b²)(b-a)-1/3(b³-a³) auf 1/6(b-a)³, die habe ich immer noch nicht so 100% verstanden. Könntest du mir die nochmal step by step erklären?

Für das Parallelogramm habe ich bei 2/3*g*h 1/6(a-b)³ raus, das sollte also soweit passen.

23.09.2012, 11:07

mYthos

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Zitat:

...
$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 2 (b - a)(b^2 + a^2) - \frac 1 3 (b^3 - a^3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)[3 (b^2 + a^2) - 2(b^3 - a^3)] \end{eqnarray*}$

Jetzt wird (b - a) ausgeklammert, in der Klammer muss nach Reduktion aller Summanden genau das Quadrat von (b - a) stehenbleiben.
...

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)[3b^2 + 3a^2 - 2(a^2 + ab + b^2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)[3b^2 + 3a^2 - 2a^2 - 2ab - b^2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)(b^2 - 2ab + a^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{PS} = \frac 1 6 (b - a)(b -a)^2 = \frac 1 6 (b -a)^3 \end{eqnarray*}$

Beim Parallelogramm müsstest du allerdings bekommen:

$\begin{eqnarray*} A_{PG} = \frac 1 4 (b -a)^3 \end{eqnarray*}$

das kann ich bei dir jetzt nicht erkennen.

mY+

23.09.2012, 13:20

Juger123

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Ahhh Okay, jetzt habe ich es, ich kam nicht drauf das (b³-a³) : (b-a) = 2b³-2ab-2a³ ergibt.

Das mit dem Parallelogramm stimmt schon, ich habe halt in meinem Ergebnis schon mal 2/3 gerechnet, dann komme ich von 1/4 auf 1/6.

Vielen Dank für deine Hilfe!

23.09.2012, 22:59

mYthos

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Zitat:

Original von Juger123
Ahhh Okay, jetzt habe ich es, ich kam nicht drauf das (b³-a³) : (b-a) = 2b³-2ab-2a³ ergibt.
...

Umpff, das stimmt so nicht! Denn es ist

$\begin{eqnarray*} (b^3 - a^3) = (b - a) \cdot (b^2 + ab + a^2) \end{eqnarray*}$

mY+

24.09.2012, 00:17

juger321

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Meinte ich ja!
Hab mich da wohl ein bishen verschrieben gehabt, habe es aufjedenfall heute mittag nochmal selbst gerechnet und kam dann aufs richtige ergebnis! Ich kam einfach nicht drauf mit dem (b³-a³) ne Polynomdivison mit (b-a) zu machen, ist schon n weilchen her das ich die das letzte mal benutzt habe Hammer

Hammer

.
Vielen Dank dir aufjedenfall für die Hilfe!

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