Maßtheorie offene Mengen durch abgeschlossene Quader überdecken.

22.09.2012, 18:12

steviehawk

Maßtheorie offene Mengen durch abgeschlossene Quader überdecken.

Meine Frage:
Hallo Leute, in unserem Skript steht der Satz:

Jede offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist die abzählbare Vereinigung abgeschlossener (achsenparalleler) Quader, welche disjunkt sind.

Warum gilt das nicht auch für abgeschlossene Mengen?

Was heißt hier das abzählbar?? Das können doch dann trotzdem unendlich viele werden oder? Abzählbar heißt doch, dass es eine Bijektion zwischen der Menge und den natürlichen Zahlen gibt. Ist das dann das gleich wie abzählbar unendlich?

Meine Ideen:
Danke

22.09.2012, 18:23

Che Netzer

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RE: Maßtheorie offene Mengen durch abgeschlossene Quader überdecken.
Hallo,

für abgeschlossene Mengen geht das bei Diagonalen schief, z.B. $\begin{eqnarray*} \{(x,x)\in\mathbb R^2:x\in[0,1]\} \end{eqnarray*}$ . Oder der Einheitskreis etc.

Und abzählbar heißt (wie ich es kenne) "entweder endlich oder abzählbar unendlich". Oft wird abzählbar auch nur mit abzählbar unendlich gleichgesetzt.
Hier muss die Vereinigung aber sowieso unendlich sein.

mfg,
Ché Netzer

PS/Edit: Eine Überdeckung (so wie man sich das Überdecken vorstellt) ist das übrigens nicht, eher eine Approximation von innen.

22.09.2012, 18:35

steviehawk

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RE: Maßtheorie offene Mengen durch abgeschlossene Quader überdecken.
Vielen Dank!!! Wink

Noch eine Frage:

macht die folgende Aussage Sinn??

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } s_n(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ dann ist: $\begin{eqnarray*} sup_{(0\leq s \leq f)} s_n(x)= f(x) \end{eqnarray*}$

es geht um das bessere Verständnis von:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! f(x) \, dm = sup_{(0\leq s \leq f)} \int_{}^{} \! s_n(x) \, dm \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ sind Elementarfunktionen, die monoton wachsend und punktweise gegen f konvergieren.

22.09.2012, 19:31

Che Netzer

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RE: Maßtheorie offene Mengen durch abgeschlossene Quader überdecken.

Zitat:

Original von steviehawk
$\begin{eqnarray*} sup_{(0\leq s \leq f)} s_n(x)= f(x) \end{eqnarray*}$

Ich würde es jedenfalls nicht so aufschreiben. Zumindest ist das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ überflüssig.
Wenn das wirklich punktweise gemeint ist, dann würde es stimmen, d.h. das Supremum aller $\begin{eqnarray*} s(x) \end{eqnarray*}$ für Elementarfunktionen, für die (ebenfalls punktweise) $\begin{eqnarray*} 0\leq s(x)\leq f(x) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ .
Aber beim Integral hat man dann nichts davon.
Da ist die Aussage:
Nehme eine Elementarfunktion, die stets unterhalb von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ liegt, integriere sie nach der einfachen Definition und nehme dann das Supremum über alle möglichen solcher Elementarfunktionen.

Falls die Aussage so gemeint war, dass das Supremum in $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ angenommen wird, wenn $\begin{eqnarray*} s_n\to f \end{eqnarray*}$ : Nein, es gibt im allgemeinen keine Elementarfunktion, für die die Gleichheit gilt, es ist also ein tatsächliches Supremum, kein Maximum.

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