Konvergenzradius und Intervall

22.09.2012, 19:47

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

Konvergenzradius und Intervall

Hallo,
das Konvergenzintervall und der Konvergenzradius soll berechnet werden.

die Summe lautet:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n*3^n} (2x-1)^{3n+2} \end{eqnarray*}$

Quotientenkritierium:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n*3^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1}}| <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac {\frac{1}{n*3^n}}{\frac{1}{(n+1)*3^(n+1)}} <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)*3^(n+1)}{n*3^n} <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac{n3^n*3+{3^n*3}}{n*3^n} <br /> = \lim_{n \to \infty } 3+ \frac {3}{n} = 3+0=3 \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius r = 3

$\begin{eqnarray*} -3 < | 2x-1 | < 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 < | x | < 2 \end{eqnarray*}$

Wo/Wie setze ich die Werte ein um zu testen ob diese in dem Intervall noch liegen?

Gruß,
sam2

22.09.2012, 20:59

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konvergenzradius und Intervall
Hallo,

so ganz direkt geht das noch nicht.
Du hast ja $\begin{eqnarray*} (2x-1)^{3n+2} \end{eqnarray*}$ in der Reihe zu stehen, d.h. der Exponent ist nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Zuerst kannst du da ein Quadrat aus der Reihe ziehen und dann $\begin{eqnarray*} y=(2x-1)^{3n} \end{eqnarray*}$ substituieren.
Dann erhältst du $\begin{eqnarray*} \lvert y\rvert<3 \end{eqnarray*}$ als Konvergenzbedingung.

Und hier gehören übrigens keine Beträge mehr hin:

Zitat:

Original von sam2
$\begin{eqnarray*} -3 < | 2x-1 | < 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -1 < | x | < 2 \end{eqnarray*}$

Danach kannst du dann überlegen, ob die Reihe auch an den Grenzen konvergiert, aber erst solltest du das Konvergenzintervall richtig bestimmen.

mfg,
Ché Netzer

22.09.2012, 21:24

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich nicht die Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty {a_n} {x^n} \end{eqnarray*}$ haben? Also ^n nicht mit Substituieren, dann würde das so aussehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n*3^n} (2x-1)^{3n+2}<br /> = (2x-1)^{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n*3^n} ((2x-1)^{3})^{n}<br /> x=(2x-1)^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Quotientenkritierium:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n*3^n} \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius r = 3

$\begin{eqnarray*} -3 < (2x-1)^{3} < 3 \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 21:33

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sollte nicht in den Exponenten smile

smile

Hier wäre nur noch die Gleichung $\begin{eqnarray*} x=(2x-1)^3 \end{eqnarray*}$ zu bemängeln.
Ansonsten kannst du die Konvergenzbedingung noch zu $\begin{eqnarray*} \lvert 2x-1\rvert<\sqrt[3]3 \end{eqnarray*}$ umstellen und noch durch Zwei teilen, wenn du möchtest.
Betrachten wir aber lieber mal die Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n3^n}y^n\,, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} y=(2x-1)^3 \end{eqnarray*}$ .
Diese hat den Konvergenzradius Drei. Hier kannst du etwas besser bestimmen, ob die Reihe auf dem Rand ihres Konvergenzbereiches konvergiert.

22.09.2012, 21:58

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also wenn ich 3, -3 einsetze:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n3^n}((2x-1)^3)^n\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n3^n}((2*3-1)^3)^n<br /> = \sum_{n=1}^\infty \frac1{n3^n}(125^n)<br /> \end{eqnarray*}$
bei x=3, n=1,2,3
Folge: ~41, ~1736, 72337, ... => divergent

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac1{n3^n}((-343)^n) \end{eqnarray*}$
bei x=-3, n=1,2,3
~ +114, ~ +13072, ~ +1494578, ... => divergent

Intervall:
](-3), 3 [

richtig?

wobei ich mich Frage, was wäre bei einer Folge: ~ -41, ~ +1736, ~ -72337, ... => alternierend ? Konvergent?

22.09.2012, 22:03

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nein, du sollst für das substituierte $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ die Ränder $\begin{eqnarray*} \pm3 \end{eqnarray*}$ einsetzen.
Bzw. $\begin{eqnarray*} (2x-1)^3=\pm3 \end{eqnarray*}$ .

Anzeige

22.09.2012, 22:12

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} -3 < (2x-1)^3 < 3 <br /> \sqrt[3]{-3} < (2x-1) < \sqrt[3]{3} <br /> \frac{\sqrt[3]{-3}+1 }{2} < x < \frac{\sqrt[3]{3}+1 }{2}<br /> <br /> <br /> -0,221... < x < 1,22...<br /> \end{eqnarray*}$

22.09.2012, 22:36

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

http://www1.xup.in/tn/2012_09/14637046.png

Würde daher sagen beide Werte Konvergent, da sie gehen 0 gehen.
Also :
[-0,22, 1.22]

Das sind aber alles ziemliche Komma Werte...

Ohne aus zu rechnen hätte ich das nicht sagen können.

22.09.2012, 22:50

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dezimalzahlen brauchst du sicher nicht anzugeben.

Aber nur weil die Summanden konvergieren, muss die Reihe noch nicht konvergieren.
Wie gesagt: Setze mal $\begin{eqnarray*} y=\pm3 \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\frac1{n3^n}y^n \end{eqnarray*}$
ein.

22.09.2012, 23:15

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

Die konvergieren auch gegen 0:

http://www1.xup.in/exec/ximg.php?fid=18817594

y da einzusetzen, da wäre ich nicht drauf gekommen, so kann man die Lösung dann aber auch schon ohne zu rechnen sehen.

22.09.2012, 23:20

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Du betrachtest da nur die Folge der Summanden.
Aber ihr habt doch sicher eine Aussage über die Konvergenz von
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$
getroffen, oder?

Und sagt dir das Leibniz-Kriterium etwas?

22.09.2012, 23:37

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

Aso ja, also bei 3 wäre es dann divergent, weil gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , wenn auch immer langsamer und bei (-3) ebenfalls gegen $\begin{eqnarray*} - \infty \end{eqnarray*}$ (obwohl diese alternierend) ist?

22.09.2012, 23:42

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Für $\begin{eqnarray*} y=3 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (2x-1)^3 \end{eqnarray*}$ ist die Reihe aber tatsächlich divergent.
Für $\begin{eqnarray*} y=-3 \end{eqnarray*}$ liegt allerdings die alternierende harmonische Reihe vor. Da habe ich ja schon das Stichwort Leibniz-Kriterium genannt.

22.09.2012, 23:46

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

hm, ja Leibniz Kriterium also nähert sich einem Wert, daher Konvergent.

22.09.2012, 23:55

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Der Grenzwert ist übrigens $\begin{eqnarray*} \ln2 \end{eqnarray*}$ .
Damit haben wir also gezeigt, dass die Reihe für $\begin{eqnarray*} -3\leq y<3 \end{eqnarray*}$ konvergiert, d.h. für
$\begin{eqnarray*} -\sqrt[3]3\leq2x-1<\sqrt[3]3\,. \end{eqnarray*}$

23.09.2012, 00:14

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, DANKE

Habe noch eine Frage zu y.

Zitat:

Original von Che Netzer
Aber nur weil die Summanden konvergieren, muss die Reihe noch nicht konvergieren.
Wie gesagt: Setze mal $\begin{eqnarray*} y=\pm3 \end{eqnarray*}$ in
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty\frac1{n3^n}y^n \end{eqnarray*}$
ein.

Muss man immer y nehmen?
Habe das bei der Aufgabe so gesehen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n*(x-1)^n<br /> <br /> -1 < x-1 < 1<br /> 0 < x < 2<br /> \end{eqnarray*}$

Da wurde 0 und 2 zum testen eingesetzt.
Konvergenz-Intervall: ]0,2[

23.09.2012, 00:19

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist einfach nur irgendetwas.
Wenn du bei diesem neuen Beispiel Null und Zwei einsetzt, dann achte aber darauf, es auch für $\begin{eqnarray*} x-1 \end{eqnarray*}$ und nicht für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einzusetzen. (in diesem Fall hätte man $\begin{eqnarray*} y=x-1 \end{eqnarray*}$ substituieren können und dann für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ einsetzen)

23.09.2012, 12:28

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

Fasse es jetzt nochmal zusammen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n3^n} (2x-1)^{3n+2}<br /> <br /> = (2x-1)^{2} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n3^n} ((2x-1)^{3})^{n}<br /> y=(2x-1)^{3}<br /> \end{eqnarray*}$

Quotientenkritierium:
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{1}{n3^n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } | \frac{a_{n} }{a_{n+1}}| <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac {\frac{1}{n3^n}}{\frac{1}{(n+1)*3^(n+1)}} <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac{(n+1)*3^(n+1)}{n3^n} <br /> = \lim_{n \to \infty } \frac{n3^n*3+{3^n3}}{n3^n} <br /> = \lim_{n \to \infty } 3+ \frac {3}{n} = 3+0=3 \end{eqnarray*}$

Konvergenzradius r=3:

$\begin{eqnarray*} -r < y < r<br /> -3 < (2x-1)^{3} < 3<br /> <br /> \sqrt[3]{-3} < (2x-1) < \sqrt[3]{3} <br /> \frac{\sqrt[3]{-3}+1 }{2} < x < \frac{\sqrt[3]{3}+1 }{2}<br /> <br /> <br /> -0,221 < x < 1,22<br /> \end{eqnarray*}$

Prüfen ob Werte innerhalb oder außerhalb des Intervalls:
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{n3^n}y^n \end{eqnarray*}$
einsetzen 3: harmonische Reihe -> divergiert
einsetzen -3: Leibnitz Kriterium -> konvergiert

Konvergenzintervall:
$\begin{eqnarray*} [-0.221; 1.22[ \end{eqnarray*}$

23.09.2012, 12:37

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sam2
$\begin{eqnarray*} -3 < (2x-1)^{3} < 3<br /> <br /> \sqrt[3]{-3} < (2x-1) < \sqrt[3]{3} <br /> \frac{\sqrt[3]{-3}+1 }{2} < x < \frac{\sqrt[3]{3}+1 }{2}<br /> <br /> <br /> -0,221 < x < 1,22<br /> \end{eqnarray*}$

Hier würde ich erstens
$\begin{eqnarray*} \lvert (2x-1)^3\rvert<r \end{eqnarray*}$
umformen (was, wenn es eine gerade Potenz wäre?) und zweitens nicht die Dezimalzahlen ausrechnen. Genauso bei der Angabe des Intervalls.

23.09.2012, 12:45

sam2

Auf diesen Beitrag antworten »

ok, Danke

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »