Windungs-/Umlaufzahl erkennen für Cauchy-Hauptwert |
| 23.09.2012, 12:16 | Webo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Windungs-/Umlaufzahl erkennen für Cauchy-Hauptwert ich sitze grade an einer Aufgabe, bei der es gilt, den CHW zu berechnen. Das ganze klappt auch wunderbar, allerdings habe ich da ein Vorzeichenfehler drin. Das Integral lautet: Singularitäten bei -1 und 1, folglich komme ich auf folgenden Schritt bei Anwendung des Residuensatzes: Meine Frage ist jetzt, wie komme ich darauf, welche Windungszahl jeweils richtig ist?! Ich habe hier versucht das zu skizzieren und habe dann einmal meine Kontur (Hakenintegral) oberhalb und unterhalb der x-Achse, die jeweils 1 und -1 auslassen. Ich würde mich sehr freuen, wenn mir das jemand erläutern könnte! Grüße Webo |
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| 24.09.2012, 09:21 | Webo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Keiner der mir da weiterhelfen kann? |
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| 24.09.2012, 09:52 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Windungs-/Umlaufzahl erkennen für Cauchy-Hauptwert Hallo,
Wenn du dieses "hier" etwas erläutern könntest, könnte ich mir die Kurve ansehen und dir sagen, wie du auf die Umlaufzahl kommst. Den Cauchyschen Hauptwert mit dem Residuensatz zu bestimmen, kenne ich allerdings nicht. mfg, Ché Netzer |
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| 24.09.2012, 09:55 | Webo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bzw. ich formulier das einmal anders weil gerade ein Verdacht aufkommt, dass ich bei den Konturen was nicht verstanden hab: Bei der Funktion ist die Polstelle -1. Wie lege ich hier die Konturen bzw. welche Kontur schließt dann die Stelle ein? |
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| 24.09.2012, 10:02 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie gesagt, mit der Vorgehensweise dazu kenne ich mich nicht aus. Wenn du mir irgendeine Art Anleitung dazu hier reinkopieren könntest, könnte ich mir das aber mal ansehen. |
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| 24.09.2012, 10:42 | Webo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, ich hab das mal abfotografiert: https://dl.dropbox.com/u/7305802/2012-09-24%2010.33.15.jpg Das Prinzip was wir hatten ist ganz informal gesagt: "Einmal links und einmal rechts an den Polstellen auf der reellen Acchse vorbeilaufen und dann Mittelwert bilden", kann man im Beispiel unten ganz gut sehen. Die zwei Integrale haben wir dann immer mit dem Residuensatz gelöst. Jetzt klappt das in dem Beispiel super, da nur eine Polstelle auf der reellen Achse liegt und die zwei anderen jeweils einen imaginären Anteil haben. Danach hatten wir oben besagte Aufgabe, zu der ich gerade mal folgende Skizze gemacht hab: https://dl.dropbox.com/u/7305802/2012-09-24%2010.18.09.jpg Wieder: einmal links und einmal rechts dran vorbeigelaufen. Problem ist: es gibt keine anderen Polstellen außer den beiden auf der reellen Achse! Ich hatte in der Übung damals einfach die eine Stelle oben zugeordnet, die andere unten. Angemerkt bekommen habe ich aber, dass beide Residuen +1 als Umlaufzahl haben, also so wie ich es eingezeichnet habe in der oberen Kontur liegen. Aber irgendwie beschleicht mich das Gefühl, dass ich da was mit den Konturen nicht richtig verstanden hab, bis jetzt konnte mir aber auch keiner weiterhelfen. So, jetzt hoffe ich mal, ich konnte das Problem etwas besser erläutern ... |
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| 24.09.2012, 11:18 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, in der ersten Skizze ist die Umlaufzahl an den Singularitäten nicht jeweils Eins, unten ist sie negativ, daher das Minus in der Formel. In diesem Beispiel gibt es keine weitere Singularitäten, d.h. die beiden Integrale sind nach Cauchy Null. |
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