Ist diese Bilinearform ein Skalarprodukt und welche Orthonormalbasis hat sie? |
23.09.2012, 16:11 | claritia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist diese Bilinearform ein Skalarprodukt und welche Orthonormalbasis hat sie? a) Zeigen Sie, dass b ein Skalarprodukt ist. b) Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des R³ bezüglich b. Meine Ideen: zu a) Die Matrix muss die Gleichung : (x1 x2 x3)^t * A * erfüllen. Die Matrix lautet: Damit die Bilinearform ein Skalarprodukt ist, muss die Matrix symmetrisch und positiv definit sein. Die Matrix ist symmetrisch, da A^t = A. Weiterhin muss A auch positiv definit sein, damit die Bilinearform ein Skalarprodukt ist. Positiv definit ist die Matrix A, da alle Hauptminoren > 0 sind. det |3| =3 > 0 det = 6-1= 5 >0 det |A| = 12-8-2= 2>0 Es ist ein Skalarprodukt, da beides Kritierien erfüllt sind. (habe ich verstanden) :-) zu b) Meine Lösungsidee: Man rechnet die Eigenvektoren aus. Mit diesen versucht man mit Hilfe von Gram-Schmidtschem Orthogonalisierungsverfahrens die ONB herauszufinden. Stimmt das? Vielen Dank für eure Hilfe :-) Liebe Grüße Claritia |
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24.09.2012, 10:07 | Mazze | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei symmetrischen Matrizen sind Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten automatisch orthogonal. Wenn Du allerdings einen Eigenraum mit geometrischer Vielfacheit > 1 hast, musst Du für die Basis des Eigenraumes etwas mehr tun. Etwa , wie Du schon korrekt erwähnt hast, GRam-Schmidt. |
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25.09.2012, 11:05 | claritia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Deine Antwort hat mir sehr geholfen. Jetzt bin ich beruhigt. LG Claritia |
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