Polynom 6ten Grades

04.02.2007, 10:02

Hoffi1980

Polynom 6ten Grades

Wie kann ich , wenn ich z.B. einen Graphen zeichnen will ein, sowas lösen:

f(x) = 6x^6 + 3x^3

Wo sind die Nullstellen?

Wäre für Antwort sehr dankbar.

04.02.2007, 10:09

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Ein Produkt ist genau dann Null, wenn (mindestens) einer der Fakoren Null ist. Was bedeutet das im vorliegenden Fall für die Nullstellengleichung

$\begin{eqnarray*} 0 = 6x^6 + 3x^3 = 6x^3 \left( x^3 + \frac{1}{2} \right) \end{eqnarray*}$ ?

04.02.2007, 10:13

Hoffi1980

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Hi und danke.

War zu einfach. Einer der Faktoren muss Null sein...

Was ist hiermit (wenn ausklammern nicht geht):

f(x) = 3x^6 + 2x^4 +5

Das Beispiel am Anfang war schlecht gewählt sorry.

04.02.2007, 10:23

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Dann sieht's i.a. ziemlich schlecht aus: Wie Niels Henrik Abel bereits vor über 180 Jahren bewiesen hat, sind algebraische Gleichungen größer vierten Grades nicht generell durch Formeln lösbar, die nur Wurzeln und arithmetische Grundoperationen enthalten.

Bisweilen kannst du Glück haben - bei Schulaufgaben besonders häufig, weil die so konstruiert sind - und kannst eine oder mehrere Nullstellen raten und dann Polynomdivision durchführen. Im allgemeinen klappt das aber nicht.

Dein Beispiel $\begin{eqnarray*} 3x^6 + 2x^4 +5 =0 \end{eqnarray*}$ ist aber auch schlecht gewählt, weil das auch noch ein knackbarer Sonderfall ist: Durch Substitutiom $\begin{eqnarray*} t=x^2 \end{eqnarray*}$ wird daraus die kubische Gleichung $\begin{eqnarray*} 3t^3+2t^2+5=0 \end{eqnarray*}$ , und die wäre noch mit den Cardanischen Formeln knackbar. Augenzwinkern

04.02.2007, 10:23

kiste

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Substitution $\begin{eqnarray*} u = x^2 \end{eqnarray*}$
und dann Cardanische Formeln

Bevor du jetzt sagst das war wieder ein schlecht gewählter Spezialfall:
Polynome 6-ten Grades kann man im Allgemeinen nicht mehr algebraisch auf Nullstellen untersuchen. Aber man kann Näherungsverfahren oder ähnliches benutzen

04.02.2007, 10:31

Hoffi1980

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Danke.

Wenn ich aber Substituieren kann, mache ich doch über 1. Nullstelle raten und dann Polynomdivision weiter. Ist doch einfacher, oder?

Das ist die Klausuraufgabe, die meine Frage auslöste:

f(x)=1/6 (-x^6 +3x^4-3x^2+1)

Somit ist dann f(x) = (-x^6 +3x^4-3x^2+1)
dann Substituieren t =x²

f(x)= t³ + t² - 3t +1

richtig?

Dann probieren und Polynomdivision?

PS: wie geht das mit den Formeln richtig? So wie ihr die postet?

04.02.2007, 11:02

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Zitat:

Original von Hoffi1980
Wenn ich aber Substituieren kann, mache ich doch über 1. Nullstelle raten und dann Polynomdivision weiter. Ist doch einfacher, oder?

Dann rate mal eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} 3t^3+2t^2+5=0 \end{eqnarray*}$ , ich bin gespannt. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Hoffi1980
PS: wie geht das mit den Formeln richtig? So wie ihr die postet?

Da hast du was missverstanden: Die Cardanischen Formeln klappen stets bei kubischen Gleichungen, aber das heißt nicht, dass man sie immer anwenden muss ! Wenn man es schafft, eine Nullstelle zu raten, dann ist das in der Regel der bessere weil schnellere Weg. Die Cardanischen Formeln sind ja doch ziemliche Monster, die wendet man nur an, wenn es nicht anders geht.

Und bei $\begin{eqnarray*} t^3 + t^2 - 3t +1=0 \end{eqnarray*}$ springt ja eine Nullstelle direkt ins Auge. Augenzwinkern

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