Drehung, Drehachse, Drehwinkel berechnen

23.09.2012, 17:13

sam2

Drehung, Drehachse, Drehwinkel berechnen

Es soll Drehung, Drehachse, Drehwinkel berechnet werden.
Ich habe da noch ein paar Fragen zu und diese an die entsprechenden Stellen dran geschrieben.
Wäre nett wenn mir jemand dabei helfen könnte.

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt(2)}{2} & 0 & \frac{-\sqrt(2)}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{\sqrt(2)}{2} & 0 & \frac{\sqrt(2)}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Prüfen ob $\begin{eqnarray*} A \in O(3) A*A^T=E \rightarrow korrekt det(A)=1 \rightarrow korrekt \end{eqnarray*}$

Drehwinkel:
$\begin{eqnarray*} spur(A)=1+2cos(\alpha) \rightarrow \end{eqnarray*}$ würde die Berechnung zu einer z.B. 4x4, 2x2 Matrix genau so gehen?
$\begin{eqnarray*} \frac{{\sqrt(2)}{2}+\sqrt(2)}{2}+11+2cos(\alpha)) \sqrt(2)=2cos(\alpha) \frac{\sqrt(2)}{2}=cos(\alpha) \rightarrow \alpha=arcos( \frac {\sqrt(2)}{2} ) = \frac \pi 4 \rightarrow Drehwinkel? \end{eqnarray*}$
Was ist die Drehung?

Drehachse: ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 - trifft dies immer auf 1 zu?
Bei $\begin{eqnarray*} Eig(1,A)=>(A-1*E)x=0 (A-1*E)x= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt(2)}{2}-1 & 0 & \frac{-\sqrt(2)}{2} \\ 0 & 1-1 & 0 \\ \frac{\sqrt(2)}{2} & 0 & \frac{\sqrt(2)}{2}-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt(2)}{2}-1 & 0 & \frac{-\sqrt(2)}{2} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & (\frac{\sqrt(2)}{2}-1)^2 - (\frac{\sqrt(2)}{2})^2 \end{pmatrix} (\frac{\sqrt(2)}{2}-1)^2 - (\frac{\sqrt(2)}{2})^2 x_3=0 \rightarrow x_3=1 x_2=0 x_1=0 Drehachse: \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In der Lösung ist allerdings dies für die Drehachse angegeben:
$\begin{eqnarray*} \left\{ t \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} | t \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
Wenn II. und III. Zeile in der Lösung getauscht wurden, würde das passen. Ist meine Lösung dann falsch?

24.09.2012, 17:15

Oblong

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Hey,

bei der Rangehensweise mit dem Winkel kann ich dir nicht genau helfen.
Ich berechne den immer mit hilfe folgenden Zusammenhanges

$\begin{eqnarray*} (v,Av) = |v|*|Av|* cos(\alpha) \end{eqnarray*}$
wobei v ein orthogonaler Vektor zur Drehachse ist. Damit erhälst du dann via Umstellung nach $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ den Drehwinkel.

Zur Drehachse. Die Drehachse wird ja dadurch gekennzeichnet, dass die Anwendung der Abbildung $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nix verändert. Sprich es muss für die Drehachse gelten...
$\begin{eqnarray*} Ad=d \end{eqnarray*}$ , wobei d die Drehachse ist.

Bei der Drehachse die du berechnet hast gilt dieser Zusammenhang jedoch nicht (kannst ja selber mal überprüfen).

Du hast bei der Berechnung des Kerns am Ende einen Fehler gemacht.

In der untersten Gleichung steht ja, dass $\begin{eqnarray*} x_{3}=0 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Wenn man das Ganze dann richtig weiter auflöst erhält man das Ergebnis aus der Lösung.

MfG Oblong

24.09.2012, 20:07

sam2

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Zitat:

Original von Oblong
$\begin{eqnarray*} (v,Av) = |v|*|Av|* cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

Habe noch mal aufgelöst, $\begin{eqnarray*} x_1=x_3=0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} x_2=t \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$ , kommt es hin.

24.09.2012, 20:39

Oblong

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Zitat:

Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ ?

Ein orthogonaler Vektor zur Drehachse, sprich ein beliebiger Vektor v für den gilt
$\begin{eqnarray*} (v,d)=0 \end{eqnarray*}$ , wobei d= Drehachse ist

Sprich in unserem Falle würde sich $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anbieten.

Daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} Av = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Demnach gilt dann $\begin{eqnarray*} (v,Bv)= \sqrt{2} \qquad und \qquad |v| * |Bv| * cos{\alpha}=\sqrt{2} * \sqrt{2} *cos{\alpha} \end{eqnarray*}$

Also folgt $\begin{eqnarray*} \dfrac{\sqrt{2} }{2}=cos{\alpha} \end{eqnarray*}$

Und dann wie bei dir, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \alpha = \dfrac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$
Also ist der Drehwinkel 45°

24.09.2012, 21:46

sam2

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@Oblong: ok, Danke für die Hilfe.

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