(Gleichmäßige) Stetigkeit

04.02.2007, 11:59

pseudo-nym

(Gleichmäßige) Stetigkeit

Ich hab mich jetzt mal von http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=50034 losgelöst, um Iyvonnes Suche nach Antworten nicht zu stören. Augenzwinkern

Zitat:

Original von therisen
Der Unterschied ist, dass zwar jede gleichmäßig stetige Funktion stetig ist, aber nicht jede stetige Funktion gleichmäßig stetig ist. Beachte, dass dein $\begin{eqnarray*} x_0\in D \end{eqnarray*}$ bei der normalen Stetigkeit zwar beliebig, aber fest ist... Im Gegensatz zur gleichmäßigen Stetigkeit.

Gruß, therisen

Ich hab hier stehen: "Ist die Funktion in dem abgeschlossenen Intervall (a, b) stetig, so ist sie auch gleichmäßig stetig." verwirrt

04.02.2007, 12:05

Frooke

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RE: (Gleichmäßige) Stetigkeit

Zitat:

Original von pseudo-nym
Ich hab hier stehen: "Ist die Funktion in dem abgeschlossenen Intervall (a, b) stetig, so ist sie auch gleichmäßig stetig." verwirrt

Das stimmt so auch, aber der Definitionsbereich ist ja nicht notwendigerweise ein kompaktes Intervall.

Anders gesagt:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\to\mathbb R^+ \\ x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

ist nicht gleichmässig stetig, aber

$\begin{eqnarray*} f: [a,b]\to\mathbb R^+ \\ x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$

ist für beliebige a und b gleichmässig stetig.

Besser wäre evtl. noch das Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f: (0,b]\to\mathbb R^+ \\ x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ,
welches auch nicht gleichmässig stetig ist.

Mfg

04.02.2007, 12:19

PsyPhi

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Ja das stimmt auch - gleichmäßig stetig ist ja das selbe Kriterium wie bei stetig, nur dass du "ein festes delta für alle Fälle" wählen musst. Auf einem abgeschlossenen Intervall kannst du "das schlimmste delta" aussuchen das notwendig ist, dass für $\begin{eqnarray*} |x-y|<d \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|<e \end{eqnarray*}$

Beweis hierzu wäre zB. durch Widerspruch

Ann: f : K --> |R ist nicht gleichmäßg stetig (K Kompaktum)
=> es gibt ein e >0 für das kein d gefunden werden kann dass die bedingung gilt
Man probiert alle d=1/n durch und findet trotzdem immer xn, yn aus K mit $\begin{eqnarray*} |x_n - y_n| < 1/n |f(x_n) - f(y_n)| >= e \end{eqnarray*}$

Man geht nun zu einer Teilfolge über und nimmt oBdA an, dass xn gegen einen Punkt x aus K konvergiert
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_n = x \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}y_n = x \end{eqnarray*}$

Wenn nun f stetig wäre bei x so folgte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(x) = \lim_{n \to \infty} (f(y_n) \end{eqnarray*}$
und damit liegen fast alle f(xn) und f(yn) im Intervall [f(x)-e/2 ; f(x)+e/2] im Widerspruch zur Wahl der Folgen.

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