Lösungsmenge nichtlinearer Gleichungssysteme bestimmen

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Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungsmenge nichtlinearer Gleichungssysteme bestimmen
Meine Frage:
Hallo,

ich soll ein nichtlineares Gleichungssystem lösen.

Aufgabenstellung:

Berechnen Sie für x,y,z "Element R" mit x ungleich y die Lösungsmenge des folgenden, nichtlinearen Gleichungssystems:






Meine Ideen:
1. Habs über Einsetzungsverfahren vesucht, d.h. die 3 Gleichungen nach x,y,z aufgelöst und dann gegenseitig ineinander eingesetzt. Das Problem ist nur: ich löse z.B. nach x und nach y auf und setze dann in die y-Gleichung das x ein. Dann kommt sowas raus:


jetzt hab ich aber immernoch 2Variablen und ich kriegs irgendwie nicht hin, nach einer Variablen aufzulösen???

Hat jemand ne Idee oder weiß, wie es geht?
Danke im Voraus

Edit Equester: Latexklammern eingefügt.
SinaniS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge nichtlinearer Gleichungssysteme bestimmen
Das mit der Wurzel macht es glaube ich etwas komplizierter, zumal immer dieses Plus/Minus beachtet werden muss. Ich wuerde z.B. die letzte Gleichung nach y umstellen. Dazu muessen wir annehmen, dass x nicht 0 ist (im Fall x=0 lassen sich die Loesungen ja ganz einfach berechnen). Dann ist

Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt das

Hier sieht man, dass diese Gleichung erfuellt ist, falls x=z. Das bedeutet, man kann aus dem Polynom den Faktor (x-z) ausklammern. Dann erhaelt man

Nun kann man noch die zweite Gleichung nach x umstellen, und alle drei Ergebnisse fuer x in Abhaengigkeit von z in die dritte Gleichung einsetzen. Man kann sich noch etwas Arbeit sparen, indem man zeigt, dass aus x=z folgt, dass y=x, was ja durch die Voraussetzung ausgeschlossen wurde.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lösungsmenge nichtlinearer Gleichungssysteme bestimmen
Zitat:
Original von SinaniS
Dazu muessen wir annehmen, dass x nicht 0 ist (im Fall x=0 lassen sich die Loesungen ja ganz einfach berechnen).

Wir können auch annehmen, das folgt nämlich aus .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein relativ "fallunterscheidungsarmer" Start ist so möglich: Man betrachte die Differenz der ersten beiden Gleichungen und erhält

,

was wegen des vorausgesetzten dann , also bedeutet.


P.S.: Falls wieder bei jemanden die Alarmglocken schrillen: Ja, das hier ist eine Olympiadeaufgabe, aber sie ist fast 10 Jahre alt - aktuell also keine Gefahr mehr. Augenzwinkern
Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »

Hey- erstmal vielen Dank für die schnellen Antworten-
Ganz komm ich aber noch nicht hin- abgesehen davon bin ich mir nicht sicher, wie die Lösungsmenge dann aussehen solll, da es 3 x-Werte, 3 y-Werte und 3 z-Werte gibt...

Rechne es einfach mal durch und hoffe auf eure Korrektur.
En kleines Problem von mir ist auch, wann ich denn jetzt in welche Gleichung einsetzen muss...

1.) x^{2} + yz = 2 <=> y= (2-x^{2})/z
Stell jetzt die 2. nach z um und die Dritte nach x.
2.) z = (2 - y^{2})/x
3.) x = (2 - z^{2})/y

jetzt hab ich deinen Rat befolgt und nicht die Wurzelvariante gewählt, d.h.

3.) in 2.) z = (2-y^{2}) / ((2-z^{2})/y)
....ausgerechnet...
y1 = z ; y2,3= \pm \sqrt{2-z^{2}-yz }


ok, jetzt hab ich 3 Werte für y, darunter einmal y=z, wie du erwähnt hast.

Als nächstes setze ich alle 3 y-Werte nacheinander in 3.) ein.
Da kommt raus:
x1= (2-z^{2})/z
x2,3 = (2-z^{2})/ \pm \sqrt{2-z^{2}-yz}

Logischerweise brauch ich jetzt ja noch die z-Werte:
Ich hab x1-x3 in die 2.Gleichung, d.h. in die von mir nach z umgestellte Gleichung eingefügt:

z= (2-y^{2}) / (( 2-z^{2}) / z }) ....ausgerechnet...
z1 = (2-yz) / (1-z)
z2 und z3 ergibt jetzt schon nen Wurzelterm und ich weiß jetzt leider nicht wirklich, wie ich weiter vorgehen soll... Ich müsste doch auf jeden Fall jede Gleichung von den Dreien benutzen, um auf ein Ergebnis zu kommen.

Entschuldigt, wenn ich mich etwas doof anstelle... Danke im Voraus für weitere Kommentare bzw. nen Lösungsweg und eventuell wie die Lösung aussehen muss mit 3x,3y und 3z???
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Che Netzer

Dein Fall - ich wollte mich hier nicht reindrängen, sondern oben nur anmerken, dass die Rechnungen bzw. Fallunterscheidungen nun auch nicht so exorbitant sein müssen. Augenzwinkern
 
 
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich auch nur sagen, dass man leicht auf eine Fallunterscheidung verzichten kann... Eigentlich war das ja mal SinaniS' Thread smile
Na gut, dann sehe ich mir das mal an...
Aber (@Develop2xs) benutze beim nächsten mal doch den Formeleditor Augenzwinkern

Die erste Gleichung, d.h. , sieht schonmal gut aus, aber bei den beiden anderen hast du angenommen.
Für MUSS aber tatsächlich eine dieser beiden Variablen Null sein.

Setze die oben genannte Gleichung lieber in direkt ein.
Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für den Tip, jedoch ist mir nicht ganz klar, wies dann weitergehen soll...
z= x+y setze ich dann in die 3. Gleichung, sprich z^{2} + xy = 2 ein und dann kommt wieder x = \sqrt{2-3xy- y^{2}} raus ???

und dann hab ich wieder dasselbe Problem...

Von einer Olympiade? Ich bereite mich gerade auf ne Matheklausur vor und diese Aufgabe war letztes Jahr in der Klausur. Da hätte ich wohl jämmerlich versagt... Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Develop2xs
Von einer Olympiade? Ich bereite mich gerade auf ne Matheklausur vor und diese Aufgabe war letztes Jahr in der Klausur.

Ja: Es war die erste (und vermutlich einfachste) Aufgabe der Landesrunde 2004/05:

http://www.mathematik-olympiaden.de/aufg...4/3/A44133a.pdf

Die hatte allerdings nicht die freundliche Einschränkung . So gesehen hast du es doch gut hier mit der leicht veränderten Aufgabe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso setzt du irgendwo ein?
Ich meinte die Gleichung .
Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »

Ok-

hab ich gemacht . Jetzt bekomm ich einmal z=x und einmal . Dann hab ich in 2.), also in und bekomm dann y = raus.
Soll ich das dann in 1.), d.h. in einsetzen?




[Hey,
Nach mehr als 3h an dieser Aufgabe beginn ich langsam zu verzweifeln.
( @Che Netzer) Wenn ich so vorgehe, wie du es vorgeschlagen hast, bekomm ich wie schon in dem langen Kommentar erwähnt einmal z=x raus und ne +/- Wurzel.

Kann ich die beiden Wurzelterme vernachlässigen und einfach z=x überall anwenden?
Dann wären es ja sozusagen nur noch 2 Variablen und das dürfte sogar ich hinbekommen.----Kann ich nicht, habs mir fast gedacht... muss wahrscheinlich alle Ergebnisse einsetzen.

Oder sind die Ergebnisse in meinem längeren Kommentar korrekt und ich weiß einfach nichts mit anzufangen?

Das unterm Bruch ne Null stehen würde, hab ich nach deinem Hinweis gemerkt.
Warum jedoch eine Variable ne Null sein soll, ist mir nicht klar...

Danke im Voraus...]
Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte z= x+y in die 3. Gleichung eingesetzt, weil "HAL 9000" den Ansatz gemacht hat, die erste und die 2. Gleichung einfach gleichzusetzen und dann hab ich das Ergebnis in die 3. Gleichung eingesetzt....
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wir haben jetzt also und die Gleichung

Aus letzterer folgt

Jetzt untersuchen wir und .
Letzteres liefert .

Außerdem erhalten wir analog . Hier können wir wieder und untersuchen.
Für hätten wir . (finde den Widerspruch)

Sieht auch nicht gerade nach einem wunderschönen Weg aus, aber ich wollte jetzt nicht ganz von vorn beginnen.
Develop2xs Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem vielen Dank für deine Zeit- Werde mirs jetzt mal in Ruhe ansehen und wenn ich noch nen schöneren Weg finde, dann stell ich ihn natürlich hier rein.
Thx und nen schönen Abend noch
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Abschluss will ich dann noch den obigen Alternativweg zuende führen:

Zitat:
Original von HAL 9000
Man betrachte die Differenz der ersten beiden Gleichungen und erhält

,

was wegen des vorausgesetzten dann , also bedeutet.

Analog erhält man für die Differenz aus dritter und zweiter Gleichung

,

und wenn man hier einsetzt, wird daraus :

Im Fall ergibt sich , also .

Entsprechend ergibt sich im Fall dann .

Summa summarum macht das die vier Lösungen , , und .


P.S.: Ohne die Forderung gibt es übrigens vier weitere Lösungen

, , und .
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