Gegenseitige Lage von Geraden

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Summerdream Auf diesen Beitrag antworten »
Gegenseitige Lage von Geraden
Hey!
Und zwar ist unser Thema momenten die Vektorrechnung und wir sollen uns das Kapitel "Gegenseitige Lage zweier Graden" erarbeiten.
Aber leider versteh ich das grad mal überhaupt nicht! =(
Ich weiß gar nicht, wie ich das errechnen kann bzw. woher ich jetzt beispielsweise weiß, ob sie windschief, parallel, lidentisch oder ob sie sich schneiden!

Als Beispiel vllt einfach mal folgende Aufgabe:

g: (1|2|1) + t* (2|0|1) und h: (2|3|4) + r * (0|1|-1)
Untersuchen sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen sie ggf. den Schnittpunkt S.


Würde mich sehr freuen, wenn mir wer von euch helfen könnte und mir das erklären würde!
MfG
ICEMAN Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenseitige Lage von Geraden
die lagebeziehung zweier geraden zu bestimmen erfolgt immer nach einem algorithmus...

als erstes solltest du einen kollinearitätstest der beiden richtungsvektoren durchführen und dann fallen schonmal 2 möglichkeiten weg.
habt ihr das schon gehabt?
wenn ja, wie verhalten sich denn 2 geraden die kollineare "richtungsvektoren" haben bezüglich der Richtung? wenn kollinearität vorliegt setzt du dann einen aufpunkt der geraden in die andere geradengleichung ein. Was erhälst du dadurch?

wenn keine kollinearität vorliegt setzt du die beiden geraden gleich erhälst ein GLS das du dann lösen kannst. Überleg dir mal wie sich die geraden verhalten wenn du eine wahre aussage erhälst oder wenn nicht!

probier den algorithmus mal bei deiner aufgabe aus und meld dich nochmal wenn du fragen hast...
MaWup Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gegenseitige Lage von Geraden
Hallo,
ich versuchs mal noch einfacher:

wenn die beiden Richtungsvektoren (2/0/1) und (0/1/-1) gleich oder ein Vielfaches voneinander sind, dann sind die Geraden parallel oder deckungsgleich. Also:
a* (2/0/1) = (0/1/-1)
Du hast also 3 Gleichungen: a*2=0
a*0=1
a*1=-1
Es gibt keine Lösung für a, die für alle 3 Gleichungen gilt!
( Im ersten Fall müsste a=0 sein, im zweiten Fall gibt es keine Lösung, im dritten fall müsste a=-1 sein. Also es gibt nicht EIN a, welches für alle 3 Gleichungen gilt).
Das bedeutet, deine beiden Geraden sind nicht parallel oder deckungsgleich.

Daraus folgt, die Geraden sind windschief oder schneiden sich. Du kannst jetzt testen, ob sie sich schneide. Wenn nicht, hast du als Ergebnis, dass sie windschief sind.

Wenn sich die Geraden schneiden, muss es beim Gleichsetzen einen Schnittpunkt geben. Also:

1 + t * 2 = 2 + r * 0
2 + t * 0 = 3 + r * 1
1 + t * 1 = 4 + r * -1

3 Gleichungen mit 2 Unbekannten solltest du lösen können (evtl. mit Matrix)
Ergebnis: 1. Zeile: t = 0,5
2. Zeile: r= -1
In die 3. Zeile eingesetzt: 1 + 0,5* 1 = 4 + -1 * -1
= 1,5 = 4

Ergebnis: Es gibt kein t und r, mit dem alle drei Gleichungen zu lösen sind, es gibt daher keinen Schnittpunkt, die Geraden sind windschief!!

Exkursion:
Gibt es ein Ergebnis für t und r, dann musst Du t in der Geraden g (oder r in der Geraden h) einsetzen und bekommst damit den Schnittpunkt heraus.

Hast du als Ergebnis, dass die Geraden parallel sind, so setzt du z.B. den Punkt (2/3/4), der ja auf der Geraden h liegt, gleich deiner Geraden g. Wenn du ein ein Ergebnis bekommst, sind die Geraden deckungsgleich.
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