Injektivität zwischen linearer und dualer Abbildung

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Soral Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität zwischen linearer und dualer Abbildung
Hallo Leute,

ich wollte Folgendes zeigen, habe aber keine Idee wie ich rangehen muss. verwirrt

ist injektiv,
wobei V & W endlich-dim. K-Vektorräume sind, f lineare Abbildung von V nach W und .

Meine Idee ist...

Zu zeigen, dass folgendes gilt

Ist der Ansatz der Richtige? Komme dann nämlich nicht so wirklich weiter.

Danke schonmal smile

MfG Soral Wink
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zwischen linearer und dualer Abbildung
Hallo,

Zitat:
Original von Soral
Zu zeigen, dass folgendes gilt

Ist der Ansatz der Richtige?

Ja, ggf. musst du noch kurz begründen, dass linear ist.
Dann schreibe doch mal deine Voraussetzungen auf und was du zeigen möchtest.
Vielleicht schaffst du es mit einem Widerspruchsbeweis.

mfg,
Ché Netzer
Soral Auf diesen Beitrag antworten »

Dass linear ist ergibt sich doch daraus, dass sowohl als auch linear sind und eine Verkettung von linearen Abbildungen wieder linear ist.

Dann kann ich wie folgt weiter beweisen...

Angenommen


Durch die Linearität gilt aber auch



folgt daraus dann auch letztendlich
??
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem Argument über Verkettungen hast du nur gezeigt, dass linear ist.

Und wie du aus folgerst, dass , ist mir auch unklar.
Der Ansatz ist aber richtig.
Soral Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit dem Argument über Verkettungen hast du nur gezeigt, dass linear ist.

Aber D ist doch gerade die Abbildung die von abbildet oder nicht?
Dann habe ich doch damit die Linearität gezeigt.


Zitat:
Und wie du aus folgerst, dass , ist mir auch unklar.

Ich dachte mir...



Da aber laut einem Satz den wir in der Vorlesung hatten \ ein existiert mit
muss doch sein, da ansonsten nicht gilt.

oder liegt hier grade grundsätzlich nen Fehelr in meiner Denkweise vor?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Linearität:
Du zeigst die Linearität von , nicht die von . Dazu musst du zeigen, dass .

Zur Injektivität:
Aber dazu brauchst du doch nicht.
Wenn , dann kannst du doch schon ähnlich argumentieren. (Gäbe es ein , ...)
 
 
Soral Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Linearität: Jetzt fällt der Groschen...Big Laugh Hammer
Der Unterschied ist mir nun endlich klar...

Zur Injektivität... Da hast du natürlich vollkommen recht, ich habe ja in den Schritten eigentlich garnix gemacht...

Aber die Argumentation warum D dann injektiv ist ist im groben dann richtig!?

P.S. Sry dass die ganze Sache sich so zieht..
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn die Linearität klar ist, stimmt der Injektivitätsbeweis, wenn der richtig zusammengsetzt wird.
Die einzelnen Teile stehen hier aber alle irgendwo Augenzwinkern

Dann ist nur noch die Frage, ob ihr die Linearität voraussetzen dürft.
Besonders schwer ist die aber auch nicht zu zeigen...
Soral Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die Linearität kann ich nun, nachdem mir klar ist, dass er direkt sein muss, auch beweisen.
Ist ja im Allgemeinen nicht so schwer.

Danke dir und deiner Geduld smile
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